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Si l’on change $g$ en $f,$ et réciproquement $f$ en $g$ dans l’équation $(a_{1}),$ on aura

$(b_{1})\quad 0=\theta (1-\theta ){\frac {d^{2}y}{d\theta ^{2}}}+\left[\theta (f-g-2)+1\right]{\frac {dy}{d\theta }}+(fg-g-h)y\,;$

et si l’on détermine les deux constantes arbitraires, de manière que l’on ait $y=1$ et ${\frac {dy}{d\theta }}=g(1-f)+h$ lorsque $\theta =0,$ en nommant $\Box (\theta )$ ce que devient alors $y,$ on aura

$\Pi (s_{1}-z)={\frac {\Box \left({\cfrac {s_{1}-z}{s+s_{1}}}\right)}{(s+s_{1})^{g}}}.$

Les deux fonctions ${\text{⅃}}(\theta )$ et $\Box (\theta )$ ont entre elles une relation fort simple, au moyen de laquelle, lorsque l’une des deux sera connue, l’autre le sera pareillement : en effet, si, dans l’équation $(b_{1}),$ on fait

$y_{1}=(1-\theta )^{f-g}y,$

on aura

$0=\theta (1-\theta ){\frac {d^{2}y_{1}}{d\theta ^{2}}}+\left[\theta (g-f-2)+1\right]{\frac {dy_{1}}{d\theta }}+(fg-f-h)y_{1},$

équation qui est la même que l’équation $(a_{1}).$ De plus, comme on doit avoir, relativement à l’équation $(b_{1}),\ y=1$ et ${\frac {dy}{d\theta }}=g-fg+h$ lorsque $\theta =0,$ on aura, dans ce même cas, $y_{1}=1$ et

${\frac {dy}{d\theta }}={\frac {dy_{1}}{d\theta }}-(f-g)y_{1}=g-fg+h,$

ce qui donne

${\frac {dy_{1}}{d\theta }}=f-fg+h\,;$

ainsi les deux constantes arbitraires de l’intégrale de l’équation en $y,$ sont les mêmes que celles de l’intégrale de l’équation $(a_{1}),$ ce qui donne

$y_{1}={\text{⅃}}(\theta ),$

partant

$\Box (\theta )=(1-\theta )^{f-g}{\text{⅃}}(\theta ).$