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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.
Si l’on multiplie pareillement la première des équations (A) par
la seconde par
la troisième par
et que l’on ajoute leur somme à l’équation
on aura
![{\displaystyle 0={\frac {xd^{2}x+yd^{2}y+zd^{2}z+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {1+m}{r}}+{\frac {1+m}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e19acfc1e709abdf3010618ec292c15573c536a8)
![{\displaystyle +2m'\int \operatorname {d} \mathrm {R} +m'\left(x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/810a4057ac215f5fa4de802be5fd753230bf011d)
ou, ce qui revient au même,
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}r^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {2(1+m)}{r}}+{\frac {2(1+m)}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4b78b1276d30ca84bfa9c53e17f4242b13538e1)
![{\displaystyle +4m'\int \operatorname {d} \mathrm {R} +2m'\left(x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f848c4789ef9dd837e2c86071c8326abab32fe2)
L’intégrale de cette équation donnera la valeur de
dans la supposition du mouvement elliptique, en y faisant
Supposons que l’action de
augmente cette valeur de la quantité
on changera dans l’équation précédente
dans
étant ici le rayon vecteur dans l’hypothèse du mouvement elliptique ; en développant ensuite les différents termes de cette équation par rapport aux puissances de
les termes indépendants de
se détruiront d’eux-mêmes par la nature du mouvement elliptique ; et, si l’on néglige, comme nous le ferons toujours dans la suite, les carrés et les produits des masses perturbatrices, on aura, pour déterminer
l’équation différentielle
![{\displaystyle (b)\qquad 0={\frac {d^{2}(r\delta r)}{dt^{2}}}+{\frac {r\delta r}{r^{3}}}+2\int \operatorname {d} \mathrm {R} +x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f8cc956730eefc2396f8ca3b69b4125d155eb7a)
les valeurs de
étant relatives au mouvement elliptique des planètes
et ![{\displaystyle m'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c11557748dec490579a5d684c3499d149993b062)
Maintenant, les équations (A) de l’article I donnent, en y supposant
et
nuls,
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {x}{r^{3}}},\qquad 0={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {y}{r^{3}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c36e55a3fa5265169ffebc66212c91afd0d57b06)
si l’on multiplie la première de ces deux équations par
et qu’on