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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

Si l’on multiplie pareillement la première des équations (A) par $x,$ la seconde par $y,$ la troisième par $z,$ et que l’on ajoute leur somme à l’équation $(a),$ on aura

$0={\frac {xd^{2}x+yd^{2}y+zd^{2}z+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {1+m}{r}}+{\frac {1+m}{a}}$

$+2m'\int \operatorname {d} \mathrm {R} +m'\left(x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}\right)$

ou, ce qui revient au même,

$0={\frac {d^{2}r^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {2(1+m)}{r}}+{\frac {2(1+m)}{a}}$

$+4m'\int \operatorname {d} \mathrm {R} +2m'\left(x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}\right).$

L’intégrale de cette équation donnera la valeur de $r,$ dans la supposition du mouvement elliptique, en y faisant $m'=0.$ Supposons que l’action de $m'$ augmente cette valeur de la quantité $m'\delta r,$ on changera dans l’équation précédente $r$ dans $r+m'\delta r,\ r$ étant ici le rayon vecteur dans l’hypothèse du mouvement elliptique ; en développant ensuite les différents termes de cette équation par rapport aux puissances de $m',$ les termes indépendants de $m'$ se détruiront d’eux-mêmes par la nature du mouvement elliptique ; et, si l’on néglige, comme nous le ferons toujours dans la suite, les carrés et les produits des masses perturbatrices, on aura, pour déterminer $\delta r,$ l’équation différentielle

$(b)\qquad 0={\frac {d^{2}(r\delta r)}{dt^{2}}}+{\frac {r\delta r}{r^{3}}}+2\int \operatorname {d} \mathrm {R} +x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}},$

les valeurs de $r,x,y,z,r',x',y',z'$ étant relatives au mouvement elliptique des planètes $m$ et $m'.$

Maintenant, les équations (A) de l’article I donnent, en y supposant $m$ et $m'$ nuls,

$0={\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {x}{r^{3}}},\qquad 0={\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {y}{r^{3}}}\,;$

si l’on multiplie la première de ces deux équations par $r\delta r,$ et qu’on