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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

et l’équation différentielle précédente en $r$ donne, dans la supposition de $m$ et de $m'$ nuls,

${\frac {rdv^{2}}{dt^{2}}}={\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}.$

On aura donc

$0={\frac {rd^{2}\delta r-\delta rd^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {3\delta r}{r^{2}}}-{\frac {2d\delta v}{dt}}{\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}}+x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}.$

Si l’on substitue dans cette équation, au lieu de $r\delta r,$ sa valeur tirée de l’équation $(b)$ de l’article précédent, on aura

${\frac {2d\delta v}{dt}}{\sqrt {a\left(1-e^{2}\right)}}$

$={\frac {d\left(rd\delta r-\delta rdr\right)}{dt^{2}}}+{\frac {3d^{2}(r\delta r)}{dt^{2}}}+6\int \operatorname {d} \mathrm {R} +4\left(x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}\right)\,;$

d’où l’on tire, en intégrant et en substituant ${\frac {1}{n}}$ au lieu de $a^{\frac {3}{2}},$

(6)

$\delta v={\frac {{\cfrac {2rd\delta r+\delta rdr}{a^{2}ndt}}+3a\int ndt\int \operatorname {d} \mathrm {R} +2a\int ndt\left(x{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\cfrac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}\right)}{\sqrt {1-e^{2}}}}.$

VI.

Si l’on multiplie la première des équations (A) de l’article I par $-y,$ et qu’on l’ajoute à la seconde multipliée par $x,$ on aura

$0={\frac {xd^{2}y-yd^{2}x}{dt^{2}}}+m'\left(x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}-y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}\right),$

ce qui donne, en intégrant,

${\frac {xdy-ydx}{dt}}=c+m'\int dt\left(y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}-x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}\right),$

$c$ étant une constante arbitraire. On aura pareillement les deux intégrales

${\begin{aligned}{\frac {xdz-zdx}{dt}}=&c'+m'\int dt\left(z{\frac {\partial \mathrm {r} }{\partial x}}-x{\frac {\partial \mathrm {r} }{\partial z}}\right),\\{\frac {ydz-zdy}{dt}}=&c''+m'\int dt\left(z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}-y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}\right),\end{aligned}}$