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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

Il suit de là que, si l’on suppose

${\frac {1}{\left(a^{2}-2aa'\cos \theta +a'^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}=(a,a')+(a,a')'\cos \theta +\ldots ,$

on aura

$\mathrm {B} =-{\frac {1}{2}}a^{2}a'(a,a')'.$

On trouvera, de la même manière,

$\mathrm {C} =a\left(a^{2}+a'^{2}\right)(a,a')'-3a^{2}a'(a,a').$

Si l’on change dans ces expressions $a$ en $a',$ et réciproquement, on aura les valeurs de $\mathrm {B}$ et de $\mathrm {C} ,$ relatives aux perturbations de $m',$ par l’action de $m,$ et l’on doit observer que les fonctions $(a,a')$ et $(a,a')'$ ne changent point en vertu de ces permutations.

Cela posé, soit $i$ le nombre des années juliennes écoulées depuis l’époque où l’on fixe l’origine du temps $t\,;$ soit $\mathrm {T}$ la durée d’une année julienne ; $n\mathrm {T}$ sera le moyen mouvement de $m$ dans cet intervalle ; nous le supposerons réduit en secondes de degré. Soient encore

${\begin{aligned}&{\frac {m'n\mathrm {T} }{4}}a^{2}a'(a,a')'=(0,1),\\&{\frac {m'n\mathrm {T} }{2}}a\left[\left(a^{2}+a'^{2}\right)(a,a')'-3aa'(a,a')\right]={\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}},\\&{\frac {mn'\mathrm {T} }{4}}a'^{2}a(a,a')'=(1,0),\\&{\frac {mn'\mathrm {T} }{2}}a'\left[\left(a^{2}+a'^{2}\right)(a,a')'-3aa'(a,a')\right]={\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 0\\\hline \end{array}}\,;\end{aligned}}$

on aura, par ce qui précède, entre les quatre variables $l,h,l'$ et $h',$ les quatre équations suivantes :

${\begin{aligned}0=&{\frac {\partial l}{\partial i}}\ +(0,1)h\ -{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}h',\\0=&{\frac {\partial h}{\partial i}}-(0,1)l\,\ \ +{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}l',\\0=&{\frac {\partial l'}{\partial i}}\,+(1,0)h'-{\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 0\\\hline \end{array}}h,\\0=&{\frac {\partial h'}{\partial i}}-(1,0)l'\,+{\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 0\\\hline \end{array}}l.\end{aligned}}$