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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

d’où l’on tire, comme dans l’article XVI,

${\begin{aligned}0=&{\frac {dp}{di}}-(0,1)(q'-q),\\0=&{\frac {dq}{di}}+(0,1)(p'-p).\end{aligned}}$

On aura pareillement

${\begin{aligned}0=&{\frac {dp'}{di}}+(1,0)(q'-q),\\0=&{\frac {dq'}{di}}-(1,0)(p'-p).\end{aligned}}$

Si l’on suppose

${\begin{aligned}p\ =&\mathrm {P} \ \sin(gi+\gamma )+\mathrm {Q} ,\\q\ =&\mathrm {P} \ \cos(gi+\gamma )+\mathrm {Q} ',\\p'=&\mathrm {P} '\sin(gi+\gamma )+\mathrm {Q} ,\\q'=&\mathrm {P} '\cos(gi+\gamma )+\mathrm {Q} ',\end{aligned}}$

on trouvera, en substituant ces valeurs dans les équations différentielles précédentes,

$g=-(0,1)-(1,0),$

$\mathrm {\frac {P'}{P}} =-{\frac {(1,0)}{(0,1)}}\,;$

on aura ainsi, entre les cinq arbitraires $\mathrm {P,P',Q,Q'}$ et $\gamma ,$ une relation qui les réduit aux quatre constantes arbitraires que doivent renfermer les valeurs de $p,q,p',q'.$ On déterminera ces constantes au moyen des inclinaisons des orbites et des positions de leurs nœuds à une époque donnée, en observant que

$p=\theta \sin \mathrm {I} ,\quad q=\theta \cos \mathrm {I} ,\quad p'=\theta '\sin \mathrm {I} ',\quad q'=\theta '\cos \mathrm {I} '.$

On aura ensuite les tangentes des inclinaisons et les positions des nœuds, relatives à un temps quelconque, au moyen des formules

${\begin{array}{ll}\theta ={\sqrt {p^{2}+q^{2}}},&\qquad \theta '={\sqrt {p'^{2}+q'^{2}}},\\\operatorname {tang} \mathrm {I} ={\cfrac {p}{q}},&\qquad \operatorname {tang} \mathrm {I} '={\cfrac {p'}{q'}}.\end{array}}$

Soit $\gamma$ la tangente de l’inclinaison de l’orbite de $m$ sur l’orbite $m'\,;$ il