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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

et, par conséquent,

$m{\sqrt {a}}(0,1)=m'{\sqrt {a'}}(1,0).$

On trouvera de la même manière

$m{\sqrt {a}}{\begin{array}{|c|}\hline 0,\ 1\\\hline \end{array}}=m'{\sqrt {a'}}{\begin{array}{|c|}\hline 1,\ 0\\\hline \end{array}}\,;$

on aura ainsi

$m{\sqrt {a}}(ede+\theta d\theta )+m'{\sqrt {a'}}(e'de'+\theta 'd\theta ')=0,$

ce qui réduit les deux premières équations différentielles de cet article aux suivantes :

${\begin{aligned}0=&{\frac {mda}{a^{2}}}+{\frac {m'da'}{a'^{2}}},\\0=&{\frac {mda}{\sqrt {a}}}\left(1-{\frac {1}{2}}e^{2}-{\frac {1}{2}}\theta ^{2}\right)+{\frac {m'da'}{\sqrt {a'}}}\left(1-{\frac {1}{2}}e'^{2}-{\frac {1}{2}}\theta '^{2}\right).\end{aligned}}$

Ces équations donnent $da=0,\ da'=0,$ d’où il résulte que les grands axes des orbites sont constants, du moins lorsque l’on néglige les quatrièmes puissances et les produits de quatre dimensions, des excentricités et des inclinaisons des orbites ; car les équations différentielles qui déterminent $ede,\theta d\theta ,e'de',\theta 'd\theta '$ sont, par l’article XII, exactes aux quantités près de cet ordre.

Les carrés des moyens mouvements des planètes étant réciproques aux cubes des grands axes de leurs orbites, la constance de ces axes entraîne avec elle l’uniformité des moyens mouvements ; ils ne sont donc, en vertu de l’action mutuelle des planètes, assujettis à aucune équation séculaire sensible depuis l’époque des observations les plus anciennes jusqu’à nos jours. C’est à peu près de cette manière que j’ai reconnu, le premier, l’uniformité des moyens mouvements célestes. M. de la Grange a fait voir depuis, par une analyse fort ingénieuse, qu’ils sont uniformes, même en ayant égard aux quantités du quatrième ordre et des ordres supérieurs. Il ne doit donc maintenant rester aucun doute sur cet objet, et nous verrons dans la suite que ce résultat de la théorie est entièrement d’accord avec les observations