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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

$(r)$ et $\left({\frac {dr}{ndt}}\right)$ étant les expressions de $r$ et de ${\frac {dr}{ndt}}$ relatives au mouvement elliptique. Ainsi, pour avoir égard, dans l’expression du rayon vecteur, à la partie des perturbations qui est divisée par $\alpha ^{2},$ il suffit d’augmenter de la quantité $3am'\int ndt\int \operatorname {d} \mathrm {R}$ la longitude moyenne $nt+\varepsilon$ de l’expression du rayon vecteur dans l’hypothèse elliptique. Voyons maintenant comment on doit avoir égard à cette partie des perturbations, dans l’expression de la longitude $v.$

La formule (9) de l’article VII donnera, en n’ayant égard qu’aux termes divisés par $\alpha ^{2}$ et en y substituant, au lieu de $\delta r,$ sa valeur précédente,

$\delta v=\left[{\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}-{\frac {2edv\cos v}{ndt(1-e\cos v)}}+{\frac {e^{2}dv\sin ^{2}v}{ndt(1-e\cos v)^{2}}}\right]3a\int ndt\int \operatorname {d} \mathrm {R} \,;$

or on a, par la nature du mouvement elliptique,

${\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}={\frac {r^{2}dv}{a^{2}\left(1-e^{2}\right)ndt}}={\frac {dv\left(1-e^{2}\right)}{ndt(1-e\cos v)^{2}}}\,;$

on aura donc

$\delta v={\frac {dv}{ndt}}3a\int ndt\int \operatorname {d} \mathrm {R} \,;$

d’où il suit que, en n’ayant égard qu’aux termes divisés par $\alpha ^{2},$ la longitude $v$ de la planète $m$ devient

$(v)+\left({\frac {dv}{ndt}}\right)3am'\int ndt\int \operatorname {d} \mathrm {R} ,$

$(v)$ et $\left({\frac {dv}{ndt}}\right)$ étant les valeurs de $v$ et de ${\frac {dv}{ndt}}$ relatives au mouvement elliptique. On doit donc suivre, pour avoir égard à cette partie des perturbations dans l’expression de la longitude, la même règle que nous venons de donner pour y avoir égard dans l’expression du rayon vecteur, c’est-à-dire qu’il faut augmenter dans l’expression elliptique de $v$ la longitude $nt+\varepsilon$ de la quantité $3am'\int ndt\int \operatorname {d} \mathrm {R} .$

La partie constante de l’expression de $\left({\frac {dv}{ndt}}\right)$ développée en série de cosinus de l’angle $nt+\varepsilon -\varpi$ et de ses multiples se réduisant,