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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.

d’où l’on tire, en négligeant $5n'-2n$ vis-à-vis de $n,$

${\begin{aligned}\delta v=&\quad \ 2\mathrm {P} \cos(3nt-5n't+3\varepsilon -5\varepsilon ')\\&-2\mathrm {Q} \sin(3nt-5n't+3\varepsilon -5\varepsilon ').\end{aligned}}$

XXVI.

La même raison qui nous oblige d’avoir égard, dans les expressions de ${\frac {\delta r}{a}}$ et de $\delta v$ aux termes dépendants de l’angle $3nt-5n't+3\varepsilon -5\varepsilon ',$ rend également nécessaire la considération des termes dépendants de l’angle $2nt-4n't+2\varepsilon -4\varepsilon '$ dans les expressions de ${\frac {\delta r'}{a'}}$ et de $\delta v'_{1},\ v'_{1}$ étant la longitude de Saturne comptée sur son orbite. Il est aisé de voir, en effet, qu’en intégrant l’équation différentielle du second ordre, qui donne $r'\delta r',$ les termes dépendants de l’angle dont il s’agit acquièrent le diviseur

$n'^{2}-(2n-4n')^{2}\qquad {\text{ou}}\qquad (2n-3n')(5n'-2n),$

et deviennent très sensibles par la petitesse de $5n'-2n.$ Soit donc

${\begin{aligned}&\mathrm {P} '\sin(2nt-4n't+2\varepsilon -4\varepsilon ')\\+&\mathrm {Q} '\cos(2nt-4n't+2\varepsilon -4\varepsilon ')\end{aligned}}$

la partie de ${\frac {\delta r'}{a'}}$ qui dépend de l’angle $2nt-4n't+2\varepsilon -4\varepsilon '\,;$ on trouvera, par une analyse entièrement semblable à celle de l’article précédent,

${\begin{aligned}\mathrm {P} '=&{\frac {n'a'}{5n'-2n}}\left({\frac {\partial k}{\partial e'}}\cos \varpi '+{\frac {\partial k'}{\partial e'}}\sin \varpi '\right),\\\mathrm {Q} '=&{\frac {n'a'}{5n'-2n}}\left({\frac {\partial k'}{\partial e'}}\cos \varpi '-{\frac {\partial k}{\partial e'}}\sin \varpi '\right).\end{aligned}}$

On aura ensuite, en n’ayant égard qu’aux termes dépendants du même angle,

${\begin{aligned}\delta v'_{1}=&\quad \ \mathrm {P} '\cos(2nt-4n't+2\varepsilon -4\varepsilon ')\\&-\mathrm {Q} '\sin(2nt-4n't+2\varepsilon -4\varepsilon ')\end{aligned}}$