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THÉORIE DE JUPITER ET DE SATURNE.
XXVII.
Il nous reste présentement à considérer les parties de 
et de 
qui dépendent des carrés et des produits de deux dimensions des excentricités et des inclinaisons des orbites. Pour cela, nous reprendrons la formule (7) de l’article VI, et nous supposerons d’abord, comme dans l’article XI, que le plan des 
et des 
est celui de l’orbite primitive de 
ce qui donne 
et 
Cette formule devient alors, en négligeant les quantités du troisième ordre,
Considérons les termes de cette valeur de 
qui, n’étant que du second ordre, ont pour diviseur 
Il est visible que ces termes ne peuvent être produits que par l’intégration des fonctions différentielles
or, l’intégration de ces formules ne peut introduire 
en diviseur qu’au moyen des termes de la forme 
qu’elles renferment ; voyons donc les termes de cette forme, qui peuvent exister parmi les quantités du second ordre, renfermées dans les fonctions différentielles précédentes.
Si l’on substitue, au lieu de 
sa valeur donnée dans l’article IV, on aura
![{\displaystyle y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}={\frac {yz'}{r'^{3}}}-{\frac {yz'}{[(x'-x)^{2}+(y'-y)^{2}+(z'-z)^{2}]^{\frac {3}{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f1880f7cb9e8e93dcb7d85be820b337652dee9b)
En négligeant les quantités du troisième ordre et en substituant au lieu de 
leurs valeurs, on trouvera
![{\displaystyle {\begin{aligned}y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}=&{\frac {r\gamma }{2r'^{2}}}\left[\cos(v'_{1}-v-\Pi )-\cos(v'_{1}+v-\Pi )\right]\\&+{\frac {{\frac {1}{2}}rr'\gamma \left[\cos(v'_{1}+v-\Pi )-\cos(v'_{1}-v-\Pi )\right]}{\left[r^{2}-2rr'\cos(v'_{1}-v)+r'^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2cb2b1bc6676bec5803ea2ce50d1592f23372ba)
