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SUR L’ÉQUATION SÉCULAIRE DE LA LUNE.
étant une constante arbitraire qui, comme l’on sait, est le demi grand axe de l’ellipse que la Lune décrirait sans la force perturbatrice du Soleil.
En ajoutant l’intégrale précédente à la somme des équations (A) multipliées respectivement par
on aura l’équation différentielle
![{\displaystyle 0={\frac {xd^{2}x+yd^{2}y+zd^{2}z+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}-{\frac {1}{r}}+{\frac {1}{a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/293fe09a04e767c517bb6230ad6d1974fc02f3de)
![{\displaystyle +2\int \operatorname {d} \mathrm {R} +x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a441f5b1bee53ecda6631018958049c7b84884c)
mais on a
![{\displaystyle xd^{2}x+yd^{2}y+zd^{2}z+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}={\frac {1}{2}}d^{2}r^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7bd33c41dc251b4edb6a8d6d109509231767028)
partant
![{\displaystyle 0={\frac {d^{2}r^{2}}{2dt^{2}}}-{\frac {1}{r}}+{\frac {1}{a}}+2\int \operatorname {d} \mathrm {R} +x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05389f193ff1d69f87afc450946cc61bd63c93af)
Si l’on intègre cette équation dans la supposition de
on aura la valeur de
relative au mouvement elliptique de la Lune. Soit
la partie de
due à l’action du Soleil ; en substituant au lieu de
dans l’équation précédente,
étant ici la partie du rayon vecteur relative au mouvement elliptique, on aura, en négligeant le carré des forces perturbatrices,
(B)
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La somme des trois équations différentielles (A), multipliées respectivement par
donne
![{\displaystyle 0={\frac {xd^{2}x+yd^{2}y+zd^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {1}{r}}+x{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial x}}+y{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial y}}+z{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3caf542d4379f59674ef399cf202345035bf1c4)
Soit
l’angle infiniment petit intercepté entre les deux rayons
et
on aura
![{\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=dr^{2}+r^{2}dv^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebe71e7eb32c1bff72ac23e10977281ec3e8a197)
partant
![{\displaystyle xd^{2}x+yd^{2}y+zd^{2}z=d(rdr)-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=rd^{2}r-r^{2}dv^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3eecb1d57672b8c510b5232c9707ab32cdeadec9)