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SUR L’ÉQUATION SÉCULAIRE DE LA LUNE.

mine la constante arbitraire $g,$ et ce qui donne

$g={\frac {7n'^{2}}{12n^{2}}}.$

L’équation différentielle en $u$ deviendra ainsi, en observant que ${\frac {1}{a^{3}}}=n^{2}$ et ${\frac {\mathrm {S} }{a'^{3}=n'^{2},}}$

$0={\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+n^{2}u\left(1-{\frac {3\delta a}{a}}-{\frac {2n'^{2}}{n^{2}}}\right)+n^{2}{\frac {\delta a}{a}}+{\frac {n'^{2}}{6}}.$

$n$ étant une quantité variable, cette équation se partage dans les deux suivantes :

${\begin{aligned}0=&{\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+n^{2}u\left(1-{\frac {3\delta a}{a}}-{\frac {2n'^{2}}{n^{2}}}\right)\\0=&n^{2}{\frac {\delta a}{a}}+{\frac {n'^{2}}{6}}.\end{aligned}}$

Cette dernière équation donne

${\frac {\delta a}{a}}=-{\frac {n'^{2}}{6n^{2}}}\,;$

la première devient ainsi

$0={\frac {d^{2}u}{dt^{2}}}+n^{2}u\left(1-{\frac {3n'^{2}}{2n^{2}}}\right),$

d’où l’on tire, en intégrant.

$u=e\cos \left(nt{\sqrt {1-{\frac {3n'^{2}}{2n^{2}}}}}+\lambda \right),$

$e$ et $\lambda$ étant deux arbitraires. On voit ainsi que $e$ est indépendant des éléments de l’orbite solaire et qu’ainsi on peut le regarder comme invariable relativement à $e'.$

L’expression précédente de $u$ ne donne pas, à la vérité, le mouvement de l’apogée de la Lune ; on sait, par la théorie de ce satellite, que, pour déterminer ce mouvement, il faut pousser l’approximation jusqu’au carré des forces perturbatrices ; mais il est aisé de voir, par cette même théorie, que l’excentricité de l’orbite lunaire reste tou-