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MÉMOIRE SUR LA FIGURE DE LA TERRE.

en la substituant dans les équations précédentes, on aura

$\mathrm {H} '=0,\qquad \mathrm {H} ''=0,\qquad \mathrm {H} '''=0,$

ce qui réduit $\mathrm {Y} ^{(2)}$ à cette forme

$\mathrm {H} \left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)+\mathrm {H} ^{\text{ıv}}\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\varpi .$

Telle est la condition qui résulte de la supposition que la Terre tourne autour d’un de ses axes principaux ; mais les constantes $H,H^{\text{ıv}}$ et les fonctions $\mathrm {Y} ^{(3)},\mathrm {Y} ^{(4)},\ldots$ restent indéterminées. Voyons ce que les autres phénomènes dépendants de la figure de la Terre nous apprennent sur leur nature.

VIII.

J’ai fait voir, dans l’Ouvrage cité, que les trois expressions du rayon terrestre, de la longueur du pendule à secondes et du degré du méridien étaient liées entre elles de la manière suivante.

$1+\alpha \left(\mathrm {Y^{(2)}+Y^{(3)}+Y^{(4)}} +\ldots +\mathrm {Y} ^{(i)}+\ldots \right)$ étant l’expression du rayon mené du centre de gravité de la Terre à sa surface, si l’on nomme $l$ la longueur du pendule à secondes, on aura

$l=\mathrm {L+\alpha L} \left[\mathrm {Y^{(2)}+2Y^{(3)}+3Y^{(4)}} +\ldots +(i-1)\mathrm {Y} ^{(i)}+\ldots \right]$

$+{\frac {5}{2}}\alpha \mathrm {L} \varphi \left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right),$

$\mathrm {L}$ étant une constante que l’on déterminera par l’observation.

Si l’on nomme ensuite $c$ le degré d’un cercle dont le rayon est ce que nous avons pris pour l’unité, l’expression générale du degré du méridien sera

${\begin{aligned}c&-6\alpha c\mathrm {Y} ^{(2)}-12\alpha c\mathrm {Y} ^{(3)}-\ldots -i(i+1)\alpha c\mathrm {Y} ^{(i)}-\ldots \\&+\alpha c{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left(\mu \mathrm {Y^{(2)}+\mu Y^{(3)}} +\ldots +\mu \mathrm {Y} ^{(i)}+\ldots \right)\\&-\alpha c{\frac {{\cfrac {\partial ^{2}}{\partial \varpi ^{2}}}\left(\mathrm {Y^{(2)}+Y^{(3)}} +\ldots +\mathrm {Y} ^{(i)}\right)}{1-\mu ^{2}}}.\end{aligned}}$

Nous avons vu, dans l’article IV, que les observations sur la lon-