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MÉMOIRE SUR LA FIGURE DE LA TERRE.

les dernières différentielles étant relatives à la variable $a,$ et les intégrales étant prises depuis $a=0$ jusqu’à $a=1,$ depuis $\mu =1$ jusqu’à $\mu =-1,$ et depuis $\varpi =0$ jusqu’à $\varpi =360^{\circ }.$

Les quantités

$\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,\quad \mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,\quad \left(1-\mu ^{2}\right)\sin 2\varpi$

sont comprises dans la forme $\mathrm {U} ^{(2)}\,;$ en substituant donc au lieu de $y$ sa valeur $\mathrm {Y^{(2)}+Y^{(3)}+Y^{(4)}} +\ldots ,$ les trois équations précédentes se réduiront aux suivantes, en vertu du théorème énoncé ci-dessus :

${\begin{aligned}0=&\iiint \rho \mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi d\mu d\varpi d\left(a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}\right),\\0=&\iiint \rho \mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi d\mu d\varpi d\left(a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}\right),\\0=&\iiint \rho \left(1-\mu ^{2}\right)\sin 2\varpi d\mu d\varpi d\left(a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}\right).\end{aligned}}$

On peut exécuter les intégrations relatives à la variable $a$ au moyen des équations précédentes de l’équilibre, qui donnent

$\int \rho d\left(a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}\right)={\frac {5}{3}}\mathrm {Y} ^{(2)}\int \rho da^{3}+{\frac {5}{6}}\varphi \left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)\int \rho da^{3},$

la valeur de $\mathrm {Y} ^{(2)}$ du second membre de cette équation étant relative à la surface ; on aura ainsi

${\begin{aligned}0=&\iint \mathrm {Y} ^{(2)}\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi d\mu d\varpi ,\\0=&\iint \mathrm {Y} ^{(2)}\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi d\mu d\varpi ,\\0=&\iint \mathrm {Y} ^{(2)}\left(1-\mu ^{2}\right)\sin 2\varpi d\mu d\varpi .\end{aligned}}$

Ces équations sont indépendantes de la constitution intérieure de la Terre et se rapportent uniquement à sa surface. La valeur de $\mathrm {Y} ^{(2)}$ est de cette forme

${\begin{aligned}\mathrm {H} \left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)&+\mathrm {H} '\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi \ +\mathrm {H} ''\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi \\&+\mathrm {H} '''\left(1-\mu ^{2}\right)\sin 2\varpi +\mathrm {H} ^{\text{ıv}}\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\varpi \,;\end{aligned}}$