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MÉMOIRE SUR LA FIGURE DE LA TERRE.
les dernières différentielles étant relatives à la variable
et les intégrales étant prises depuis
jusqu’à
depuis
jusqu’à
et depuis
jusqu’à
Les quantités
![{\displaystyle \mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,\quad \mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,\quad \left(1-\mu ^{2}\right)\sin 2\varpi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fce4ff9ba984dfa94113f75cbd42d46db932dcf)
sont comprises dans la forme
en substituant donc au lieu de
sa valeur
les trois équations précédentes se réduiront aux suivantes, en vertu du théorème énoncé ci-dessus :
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&\iiint \rho \mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi d\mu d\varpi d\left(a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}\right),\\0=&\iiint \rho \mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi d\mu d\varpi d\left(a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}\right),\\0=&\iiint \rho \left(1-\mu ^{2}\right)\sin 2\varpi d\mu d\varpi d\left(a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8eb3b32023496cf99eaa0bc64e33d5fdf8cbe01b)
On peut exécuter les intégrations relatives à la variable
au moyen des équations précédentes de l’équilibre, qui donnent
![{\displaystyle \int \rho d\left(a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}\right)={\frac {5}{3}}\mathrm {Y} ^{(2)}\int \rho da^{3}+{\frac {5}{6}}\varphi \left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)\int \rho da^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9357f4f1c243071c7728373273f50152763bad72)
la valeur de
du second membre de cette équation étant relative à la surface ; on aura ainsi
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&\iint \mathrm {Y} ^{(2)}\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi d\mu d\varpi ,\\0=&\iint \mathrm {Y} ^{(2)}\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi d\mu d\varpi ,\\0=&\iint \mathrm {Y} ^{(2)}\left(1-\mu ^{2}\right)\sin 2\varpi d\mu d\varpi .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4decc970e33e8d1956ff050871ff5ee93a77541b)
Ces équations sont indépendantes de la constitution intérieure de la Terre et se rapportent uniquement à sa surface. La valeur de
est de cette forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {H} \left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)&+\mathrm {H} '\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi \ +\mathrm {H} ''\mu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi \\&+\mathrm {H} '''\left(1-\mu ^{2}\right)\sin 2\varpi +\mathrm {H} ^{\text{ıv}}\left(1-\mu ^{2}\right)\cos 2\varpi \,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eb666bc930cac9fd349c070f10a85d2fb9c8e18)