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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

En ne considérant que les termes dépendants de la figure de Jupiter, on a

$\mathrm {R} =-{\frac {(1+m)\left(\rho -{\frac {1}{2}}\varphi \right)}{3r^{3}}},$

d’où l’on tire

$\int \operatorname {d} \mathrm {R} =\mathrm {R} ,\qquad {\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}=-3\mathrm {R} ,$

partant

$2\int \operatorname {d} \mathrm {R} +r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}=-R={\frac {(1+m)\left(\rho -{\frac {1}{2}}\varphi \right)}{3r^{3}}}.$

En substituant $a^{2}+2r\delta r$ au lieu de $r^{2},$ ou, ce qui revient au même, $a+{\frac {r\delta r}{a}}$ au lieu de t^x, on aura

$2\int \operatorname {d} \mathrm {R} +r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}={\frac {(1+m)\left(\rho -{\frac {1}{2}}\varphi \right)}{3a^{3}}}-{\frac {(1+m)\left(\rho -{\frac {1}{2}}\varphi \right)}{a^{5}}}r\delta r.$

Si l’on ne considère que les termes dépendants de l’action du second satellite, on a

$\mathrm {R} ={\frac {m'r}{r'^{2}}}\cos(v'-v)-m'\left[r^{2}-2rr'\cos(v'-v)+r'^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}}.$

Supposons que la fonction $\left[r^{2}-2rr'\cos(v'-v)+r'^{2}\right]^{-{\frac {1}{2}}},$ développée suivant le cosinus de $v'-v$ et de ses multiples, soit

${\frac {1}{2}}\mathrm {B} ^{(0)}+\mathrm {B} ^{(1)}\cos(v'-v)+\mathrm {B} ^{(2)}\cos 2(v'-v)+\mathrm {B} ^{(3)}\cos 3(v'-v)+\ldots .$

Nommons $nt+\varepsilon$ et $n't+\varepsilon '$ les valeurs moyennes de $v$ et de $v',$ c’est-à-dire les longitudes moyennes de $m$ et de $m'$ comptées de l’axe des $x\,;$ en substituant au lieu de $v$ et de $v'$ ces valeurs dans l’expression de $\mathrm {R} ,$ et en y changeant $r$ et $r'$ dans $a$ et $a',$ on aura

${\begin{aligned}2\int \operatorname {d} \mathrm {R} ={\frac {2\mathrm {K} }{a}}-{\frac {2mm'}{n-n'}}&\left[\left(\mathrm {B} ^{(1)}-{\frac {a}{a'^{2}}}\right)\cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\right.\\&+\mathrm {B} ^{(2)}\cos 2(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\&+\mathrm {B} ^{(3)}\cos 3(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\&+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \left.{\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\right],\end{aligned}}$