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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

${\frac {\mathrm {K} }{a}}$ étant une constante ajoutée à l’intégrale $\int \operatorname {d} \mathrm {R} .$ On aura ensuite

${\begin{aligned}r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}=-m'a&\left[{\frac {1}{2}}{\frac {\partial B^{(0)}}{\partial a}}+\left({\frac {\partial \mathrm {B} ^{(1)}}{\partial a}}-{\frac {1}{a'^{2}}}\right)\cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\right.\\&\qquad \qquad +{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(2)}}{\partial a}}\cos 2(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\&\qquad \qquad +\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \left.{\begin{aligned}\\\\\end{aligned}}\right],\end{aligned}}$

$\mathrm {B^{(0)},B^{(1)},B^{(2)}} ,\ldots$ étant fonctions de $a$ et de $a'$ dans ces deux formules.

Nous étant proposé de conserver les termes dans lesquels $r\delta r$ est multiplié par une constante, nous devons ajouter aux seconds membres de ces formules les termes de ce genre que renferment $\int \operatorname {d} \mathrm {R}$ et $r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}}.$ Or, si dans le terme $-{\frac {m'}{2}}\mathrm {B} ^{(0)}$ de $\mathrm {R}$ on substitue $a+r{\frac {r\delta r}{a}}$ au lieu de $r,$ il en résultera le terme $-m'{\frac {r\delta r}{2a}}{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(0)}}{\partial a}}\,;$ la fonction $2\int \operatorname {d} \mathrm {R}$ contient donc le terme $-m'{\frac {r\delta r}{a}}{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(0)}}{\partial a}}.$ En substituant pareillement $a+r{\frac {r\delta r}{a}}$ au lieu de $r$ dans la fonction $r{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial r}},$ on voit qu’elle contient le terme $-{\frac {m'r\delta r}{2a}}\left({\frac {\partial \mathrm {B} ^{(0)}}{\partial a}}+a{\frac {\partial ^{2}\mathrm {B} ^{(0)}}{\partial a^{2}}}\right).$ Cela posé, si Ion rassemble tous ces termes dans l’équation différentielle (1) et qu’on la divise par $a^{2}\,;$ si l’on observe de plus que l’on a $n^{2}={\frac {1+m}{a^{3}}},$ et si, pour abréger, on suppose

$\mathrm {N} ^{2}=n^{2}\left[1-{\frac {3\delta a}{a}}-{\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{a^{2}}}-{\frac {m'a^{2}}{2}}\left(3{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(0)}}{\partial a}}+a{\frac {\partial ^{2}\mathrm {B} ^{(0)}}{\partial a^{2}}}\right)\right],$

on aura

${\begin{aligned}0=&{\frac {d^{2}(r\delta r)}{a^{2}dt^{2}}}+\mathrm {N} ^{2}{\frac {r\delta r}{a^{2}}}+2n^{2}\mathrm {K} +{\frac {n^{2}\left(\rho -{\frac {1}{2}}\varphi \right)}{3a^{2}}}-{\frac {m'n^{2}a^{2}}{2}}{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(0)}}{\partial a}}\\&-m'n^{2}\left[a^{2}{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(1)}}{\partial a}}-{\frac {a^{2}}{a'^{2}}}+{\frac {2n}{n-n'}}\left(a\mathrm {B} ^{(1)}-{\frac {a^{2}}{a'^{2}}}\right)\right]\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad \times \cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\&-m'n^{2}\left(a^{2}{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(2)}}{\partial a}}+{\frac {2n}{n-n'}}a\mathrm {B} ^{(2)}\right)\cos 2(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\&-m'n^{2}\left(a^{2}{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(3)}}{\partial a}}+{\frac {2n}{n-n'}}a\mathrm {B} ^{(3)}\right)\cos 3(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\\&-\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$