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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

et, par conséquent,

$2n't-2n''t+2\varepsilon '-2\varepsilon ''=nt-n't+\varepsilon -\varepsilon '-180^{\circ }.$

Nous verrons encore dans la suite que ces égalités sont rigoureuses. Les termes de ${\frac {r'\delta r'}{a'^{2}}}$ et de $\delta v',$ qui dépendent de l’action du troisième satellite, deviennent ainsi

${\begin{aligned}{\frac {r'\delta r'}{a'^{2}}}=&\quad \ {\frac {n'm''\mathrm {F} '}{2(n-n'-\mathrm {N} ')}}\cos(nt-n't+\varepsilon -\varepsilon '),\\\delta v'\quad =&-{\frac {n'm''\mathrm {F} '}{n-n'-\mathrm {N} '}}\sin(nt-n't+\varepsilon -\varepsilon ').\end{aligned}}$

Si l’on réunit ces valeurs à celles qui dépendent de l’action du premier satellite, on aura

${\begin{aligned}{\frac {r'\delta r'}{a'^{2}}}=&\quad \ {\frac {n'}{2(n-n'-\mathrm {N} ')}}(m''\mathrm {F} '-m\mathrm {G} )\cos(nt-n't+\varepsilon -\varepsilon '),\\\delta v'\quad =&-{\frac {n'}{n-n'-\mathrm {N} '}}\quad \ \ (m''\mathrm {F} '-m\mathrm {G} )\sin(nt-n't+\varepsilon -\varepsilon ').\end{aligned}}$

L’action du second satellite produit dans la théorie du troisième des termes analogues à ceux que l’action du premier produit dans la théorie du second ; en faisant donc

$\mathrm {G} '=a''^{2}{\frac {\partial \mathrm {B} '^{(1)}}{\partial a''}}-{\frac {a''^{2}}{a'^{2}}}-{\frac {2n''}{n'-n''}}\left(a''\mathrm {B} '^{(1)}-{\frac {a''^{2}}{a'^{2}}}\right),$

on aura

${\begin{aligned}{\frac {r''\delta r''}{a''^{2}}}=&-{\frac {n''m'\mathrm {G} '}{2(n'-n''-\mathrm {N} '')}}\cos(n't-n''t+\varepsilon '-\varepsilon ''),\\\delta v\quad =&\quad \ {\frac {n''m'\mathrm {G} '}{n'-n''-\mathrm {N} ''}}\sin(n't-n''t+\varepsilon '-\varepsilon '').\end{aligned}}$

Les valeurs de ${\frac {r''\delta r''}{a''^{2}}}$ et de $\delta v''$ peuvent recevoir encore quelques termes sensibles de l’action du quatrième satellite ; mais son moyen mouvement étant sensiblement moindre que la moitié de celui du troisième satellite, ces termes doivent être peu considérables ; nous y aurons cependant égard dans la suite.