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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

Supposons

${\begin{aligned}{\frac {r\delta r}{a^{2}}}\ =&h\ \cos(n\ t+\varepsilon \ -gt-\Gamma ),\\{\frac {r'\delta r'}{a'^{2}}}=&h'\cos(n't+\varepsilon '-gt-\Gamma ),\end{aligned}}$

$g$ étant un très petit coefficient dépendant des forces perturbatrices. En substituant ces valeurs dans l’équation différentielle précédente et en négligeant les carrés et les produits des forces perturbatrices, la comparaison des coefficients de $\cos(nt+\varepsilon -gt-\Gamma )$ donnera, en mettant pour $\mathrm {N} ^{2}$ sa valeur trouvée dans l’article IV,

${\begin{aligned}0=&h\left[{\frac {g}{n}}-{\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{a^{2}}}-{\frac {m'}{2}}\left(a^{2}{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(0)}}{\partial a}}+{\frac {1}{2}}a^{3}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {B} ^{(0)}}{\partial a^{2}}}\right)\right]\\&-{\frac {1}{2}}m'h'\left(2a\mathrm {B} ^{(1)}+a^{2}{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(1)}}{\partial a}}+aa'{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(1)}}{\partial a'}}+{\frac {1}{2}}a^{2}a'{\frac {\partial ^{2}\mathrm {B} ^{(1)}}{\partial a\partial a'}}\right).\end{aligned}}$

Pour donner à cette équation la forme la plus simple dont elle est susceptible, nous observerons que l’on a, par l’article précédent,

$a'{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(1)}}{\partial a'}}=-B^{(1)}-a{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(1)}}{\partial a}},$

d’où l’on tire

$a'{\frac {\partial ^{2}\mathrm {B} ^{(1)}}{\partial a\partial a'}}=-2{\frac {\partial \mathrm {B} ^{(1)}}{\partial a}}-a{\frac {\partial ^{2}\mathrm {B} ^{(1)}}{\partial a^{2}}}.$

En substituant ces valeurs dans l’équation précédente et en y mettant, au lieu de $\mathrm {B^{(0)},B^{(1)}}$ et de leurs différences relatives à $a,$ les valeurs déterminées par l’article précédent, on aura

${\begin{aligned}0=&h\left[{\frac {g}{n}}-{\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{a^{2}}}-{\frac {m'\alpha ^{2}}{2}}\left({\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(0)}}{d\alpha }}+{\frac {1}{2}}\alpha {\frac {d^{2}b_{\frac {1}{2}}^{(0)}}{d\alpha ^{2}}}\right)\right]\\&-{\frac {1}{2}}m'h'\left(\alpha b_{\frac {1}{2}}^{(1)}-\alpha ^{2}{\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(1)}}{d\alpha }}-{\frac {1}{2}}\alpha ^{3}{\frac {d^{2}b_{\frac {1}{2}}^{(1)}}{d\alpha ^{2}}}\right).\end{aligned}}$

Si l’on substitue, au lieu de ${\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(0)}}{d\alpha }},\ {\frac {d^{2}b_{\frac {1}{2}}^{(0)}}{d\alpha ^{2}}},\ b_{\frac {1}{2}}^{(1)},\ {\frac {db_{\frac {1}{2}}^{(1)}}{d\alpha }}$ et ${\frac {d^{2}b_{\frac {1}{2}}^{(1)}}{d\alpha ^{2}}},$ et, leurs valeurs en $b_{-{\frac {1}{2}}}^{(0)}$ et $b_{-{\frac {1}{2}}}^{(1)},$ qu’il est facile de conclure des formules de l’article