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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

X.

Du mouvement des satellites en latitude.

Pour déterminer ce mouvement, nous reprendrons l’équation (3) de l’article II,

$0={\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {(1+m)z}{r^{3}}}+{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}.$

Si l’on néglige les produits de trois dimensions de $z$ et de $z'$ et celui de $\mathrm {V} '$ par $m',$ on aura par l’article I, en n’ayant égard qu’à l’action de Jupiter et du satellite $m',$

${\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial z}}={\frac {m'z'}{r'^{3}}}-{\frac {m'(z'-z)}{\left[r^{2}-2rr'\cos(v'-v)+r'^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}-(1+m){\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}}.$

Pour déterminer ${\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}},$ nous observerons que l’on a, par l’article III,

$\mathrm {V} =-{\frac {\left(\rho -{\frac {1}{2}}\varphi \right)\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right)}{r^{3}}}.$

Supposons que $z_{1}$ soit ce que devient $z,$ dans la supposition où le satellite $m$ serait mû sur le plan même de l’équateur de Jupiter ; on aura $z-z_{1}=r\mu$ et, par conséquent,

$\mathrm {V} =-{\frac {\left(\rho -{\frac {1}{2}}\varphi \right)(z-z_{1})^{2}}{r^{5}}}+{\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{3r^{3}}},$

ce qui donne, en observant que $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ et en négligeant les termes de l’ordre $z^{3},$

${\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}}={\frac {\left(\rho -{\frac {1}{2}}\varphi \right)(2z_{1}-3z)}{r^{5}}}\,;$

l’équation différentielle en $z$ deviendra ainsi

${\begin{aligned}0={\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}&+{\frac {(1+m)z}{r^{3}}}\left(1+3{\frac {\rho -{\frac {1}{2}}\varphi }{r^{2}}}\right)-2{\frac {(1+m)\left(\rho -{\frac {1}{2}}\varphi \right)z_{1}}{r^{5}}}\\&+{\frac {m'z'}{r'^{3}}}+{\frac {m'(z-z')}{\left[r^{2}-2rr'\cos(v'-v)+r'^{2}\right]^{\frac {3}{2}}}}.\end{aligned}}$