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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

$\mathrm {L}$ dépend donc des quantités $l,l',l'',l'''$ et $\mathrm {L} '.$ Je trouve, par une analyse qu’il serait trop long d’exposer ici, que, si l’on suppose

$\mathrm {E} ={\frac {3\chi \int \Box \mathrm {R} ^{2}d\mathrm {R} }{2\int \Box \mathrm {R} ^{4}d\mathrm {R} }},$

$\chi$ étant le rapport de la durée de la rotation de Jupiter à la durée de sa révolution sidérale, $\Box$ étant la densité d’une couche de Jupiter dont le rayon est $\mathrm {R} ,$ et les intégrales étant prises depuis $\mathrm {R} =0$ jusqu’à $\mathrm {R}$ égal au rayon de l’équateur de Jupiter, que nous prendrons pour unité de distance, on a

$(k^{\text{ıv}})\quad \left\{{\begin{aligned}0=&q\mathrm {L-E} \left(\rho -{\frac {1}{2}}\varphi \right)\mathrm {MT(L-L')} \\&-{\frac {na{\sqrt {a}}\mathrm {E} }{\mathrm {M} }}\left[m(0){\sqrt {a}}(\mathrm {L} -l)+m'(1){\sqrt {a'}}(\mathrm {L} -l')\right.\\&\qquad \qquad +\left.m''(2){\sqrt {a''}}(\mathrm {L} -l'')+m'''(3){\sqrt {a'''}}(\mathrm {L} -l''')\right],\end{aligned}}\right.$

équation dans laquelle on doit observer que $\mathrm {T}$ est la durée d’une année julienne, que $\mathrm {MT}$ est le moyen mouvement sidéral de Jupiter dans cet intervalle, et que ${\frac {n}{\mathrm {M} }}$ est le rapport de la durée d’une révolution sidérale de Jupiter à la durée d’une révolution sidérale du satellite $m.$

Considérons d’abord les valeurs de $l,l',l'',l''',$ qui sont relatives au déplacement de l’orbite et de l’équateur de Jupiter. Pour cela, nous donnerons aux équations $(k),\ (k'),\ (k''),\ (k''')$ les formes suivantes :

${\begin{aligned}0=&(\mathrm {L} -l\ \ \ )\left[q-(0)-{\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}}-(0,1)-(0,2)-(0,3)\right]-q\mathrm {L} \\&+(0,1)(\mathrm {L} -l')+(0,2)(\mathrm {L} -l'')+(0,3)(\mathrm {L} -l''')+{\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}}\mathrm {(L-L')} ,\\0=&(\mathrm {L} -l'\ \ )\left[q-(1)-{\begin{array}{|c|}\hline \ 1\ \\\hline \end{array}}-(1,0)-(1,2)-(1,3)\right]-q\mathrm {L} \\&+(1,0)(\mathrm {L} -l\ )+(1,2)(\mathrm {L} -l'')+(1,3)(\mathrm {L} -l''')+{\begin{array}{|c|}\hline \ 1\ \\\hline \end{array}}\mathrm {(L-L')} ,\\0=&(\mathrm {L} -l''\ )\left[q-(2)-{\begin{array}{|c|}\hline \ 2\ \\\hline \end{array}}-(2,0)-(2,1)-(2,3)\right]-q\mathrm {L} \\&+(2,0)(\mathrm {L} -l\ )+(2,1)(\mathrm {L} -l'\ )+(2,3)(\mathrm {L} -l''')+{\begin{array}{|c|}\hline \ 2\ \\\hline \end{array}}\mathrm {(L-L')} ,\\0=&(\mathrm {L} -l''')\left[q-(3)-{\begin{array}{|c|}\hline \ 3\ \\\hline \end{array}}-(3,0)-(3,1)-(3,2)\right]-q\mathrm {L} \\&+(3,0)(\mathrm {L} -l\ )+(3,1)(\mathrm {L} -l'\ )+(3,2)(\mathrm {L} -l'')+{\begin{array}{|c|}\hline \ 3\ \\\hline \end{array}}\mathrm {(L-L')} .\end{aligned}}$