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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

Si l’on substitue dans ces équations, au lieu de $q\mathrm {L} ,$ sa valeur donnée par l’équation $(k^{\text{ıv}}),$ on aura quatre équations entre les indéterminées $\mathrm {L} -l,\ \mathrm {L} -l',\ \mathrm {L} -l'',\ \mathrm {L} -l''',\ \mathrm {L-L'}$ et $q.$

Supposons maintenant que la valeur de $q$ soit relative au déplacement de l’orbite de Jupiter et au mouvement moyen des équinoxes de son équàteur. Cette valeur est considérablement plus petite que $(0),(1),(2),(3),(0,1),\ldots ,$ parce que l’orbite et les équinoxes de Jupiter se meuvent avec beaucoup plus de lenteur que les orbites des satellites, comme on le verra ci-après. On peut donc alors négliger $q$ visà-vis de $(0),(1),\ldots .$ On peut encore négliger, sans erreur sensible, vis-à-vis des mêmes quantités et même relativement à

${\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}},\quad {\begin{array}{|c|}\hline \ 1\ \\\hline \end{array}},\quad {\begin{array}{|c|}\hline \ 2\ \\\hline \end{array}}\quad {\text{et}}\quad {\begin{array}{|c|}\hline \ 3\ \\\hline \end{array}},$

les quantités suivantes :

$\mathrm {E} \left(\rho -{\frac {1}{2}}\varphi \right)\mathrm {MT} ,\quad {\frac {na{\sqrt {a}}}{\mathrm {M} }}\mathrm {E} m(0){\sqrt {a}},\quad {\frac {na{\sqrt {a}}}{\mathrm {M} }}\mathrm {E} m'(1){\sqrt {a'}},\quad \ldots .$

Cela posé, si l’on fait

${\begin{aligned}\mathrm {L} -l\,\ \ =&\nu \ \ \ (\mathrm {L-L'} ),\\\mathrm {L} -l'\ \,=&\nu '\,\ (\mathrm {L-L'} ),\\\mathrm {L} -l''\,=&\nu ''\ (\mathrm {L-L'} ),\\\mathrm {L} -l'''=&\nu '''(\mathrm {L-L'} ),\end{aligned}}$

on aura, pour déterminer $\nu ,\nu ',\nu '',\nu ''',$ les quatre équations suivantes :

(L)

$\left\{{\begin{aligned}0=\nu \ \ \ &\left[(0)+{\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}}+(0,1)+(0,2)+(0,3)\right]\\&\qquad \qquad \qquad -(0,1)\nu '-(0,2)\nu ''-(0,3)\nu '''-{\begin{array}{|c|}\hline \ 0\ \\\hline \end{array}},\\0=\nu '\ \ &\left[(1)+{\begin{array}{|c|}\hline \ 1\ \\\hline \end{array}}+(1,0)+(1,2)+(1,3)\right]\\&\qquad \qquad \qquad -(1,0)\nu \ -(1,2)\nu ''-(1,3)\nu '''-{\begin{array}{|c|}\hline \ 1\ \\\hline \end{array}},\\0=\nu ''\ &\left[(2)+{\begin{array}{|c|}\hline \ 2\ \\\hline \end{array}}+(2,0)+(2,1)+(2,3)\right]\\&\qquad \qquad \qquad -(2,0)\nu \ -(2,1)\nu '\ -(2,3)\nu '''-{\begin{array}{|c|}\hline \ 2\ \\\hline \end{array}},\\0=\nu '''&\left[(3)+{\begin{array}{|c|}\hline \ 3\ \\\hline \end{array}}+(3,0)+(3,1)+(3,4)\right]\\&\qquad \qquad \qquad -(3,0)\nu \ -(3,1)\nu '\ -(3,2)\nu ''\ -{\begin{array}{|c|}\hline \ 3\ \\\hline \end{array}}.\end{aligned}}\right.$

La latitude du satellite $m$ au-dessus de l’orbite de Jupiter est égale à $\sum (l-\mathrm {L} ')\sin(nt+\varepsilon +pt-\Lambda ),$ la caractéristique intégrale $\sum$ servant ici à désigner la somme de tous les termes de la forme

$(l-\mathrm {L} ')\sin(nt+\varepsilon +pt-\Lambda )$