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THÉORIE DES SATELLITES DE JUPITER.

on a de plus

$n^{2}a^{3}=1\qquad {\text{et}}\qquad \mathrm {{\frac {S}{D'^{3}}}=M^{2}} .$

La fonction précédente donnera donc le terme

${\frac {3}{2}}\mathrm {M} ^{2}(\mathrm {L} '-l)\sin(nt-2\mathrm {M} t+\varepsilon -2\mathrm {A} -qt+\Lambda )\,;$

en le substituant dans l’équation différentielle en $s,$ on aura, après les intégrations,

$s={\frac {3\mathrm {M} ^{2}(\mathrm {L} '-l)\sin(nt-2\mathrm {M} t+\varepsilon -2\mathrm {A} -qt+\Lambda )}{2\left[(n-2\mathrm {M} -q)^{2}-\mathrm {N} ^{2}\right]}}.$

Or on a

$(n-2\mathrm {M} -q)^{2}-\mathrm {N} ^{2}=(n-2\mathrm {M} -\mathrm {N} -q)(n-2\mathrm {M} +\mathrm {N} -q).$

Le facteur $n-2\mathrm {M} -\mathrm {N} -q$ est très petit, et le facteur $n-2\mathrm {M} +\mathrm {N} -q$ est, à fort peu près, égal à $2n\,;$ en réunissant donc les parties périodiques de $s,$ qui sont dues à l’action des satellites et du Soleil et qui peuvent être sensibles, on aura

${\begin{aligned}s=&{\frac {m'a^{2}n(l'-l)b_{\frac {3}{2}}^{(3)}\sin(3nt-4n't+3\varepsilon -4\varepsilon '-qt+\Lambda )}{4a'^{2}\left(3n-4n'-\mathrm {N} -q\right)}}\\&+{\frac {3\mathrm {M} ^{2}(\mathrm {L} '-l)\sin(nt-2\mathrm {M} t+\varepsilon -2\mathrm {A} -qt+\Lambda )}{4n\left(n-2\mathrm {M} -\mathrm {N} -q\right)}}.\end{aligned}}$

Cette valeur de $s$ est la partie périodique de la latitude du satellite $m$ au-dessus de son orbite primitive ; il est clair que, en l’ajoutant à la valeur de $s,$ déterminée dans l’article précédent, on aura l’expression complète de la latitude du premier satellite au-dessus de l’orbite de Jupiter. On déterminera la valeur de $b_{\frac {3}{2}}^{(3)}$ au moyen de la formule

$b_{\frac {3}{2}}^{(3)}={\frac {7\left(1+\alpha ^{2}\right)b_{\frac {1}{2}}^{(3)}-14\alpha b_{\frac {1}{2}}^{(4)}}{\left(1-\alpha ^{2}\right)^{2}}},$

qu’il est aisé de conclure des formules de l’article VI.

Considérons de la même manière les inégalités périodiques du mouvement en latitude du second satellite au-dessus du plan de