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MÉMOIRE SUR LA FIGURE DE LA TERRE.

XIII.

Considérons présentement les moments des forces perturbatrices. Si l’on nomme $\mathrm {S}$ la masse d’un astre quelconque éloigné de la planète ; $s$ la distance des centres de gravité de ces deux corps, que nous supposerons très grande relativement à $a\,;$ $\nu$ l’angle que forme $s$ avec l’axe des $x,$ et $\psi$ l’angle que forme le plan de $s$ et des $x$ avec celui des $x$ et des $y.$ Si l’on décompose ensuite l’action de $\mathrm {S}$ sur une molécule de la planète, parallèlement aux trois axes des $x,$ des $y$ et des $z,$ et que l’on en retranche les forces parallèles aux mêmes axes qui sollicitent le centre de gravité de la planète, on aura les trois forces suivantes :

${\begin{aligned}a(1+\alpha y){\frac {\mathrm {S} }{s^{3}}}&\left[\left(3\cos ^{2}\nu -1\right)\mu +3\sin \nu \cos \nu {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos(\varpi -\psi )\right],\\a(1+\alpha y){\frac {\mathrm {S} }{s^{3}}}&\left[3\sin \nu \cos \nu \cos \psi -{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi \right.\\&\qquad \left.+3{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin ^{2}\nu \cos \psi \cos(\varpi -\psi )\right],\\a(1+\alpha y){\frac {\mathrm {S} }{s^{3}}}&\left[3\mu \sin \nu \cos \nu \cos \psi -{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi \right.\\&\qquad \left.+3{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin ^{2}\nu \sin \psi \cos(\varpi -\psi )\right].\end{aligned}}$

Pour avoir les moments de ces forces, il faut les multiplier par la masse de la molécule, qui est égale à

$-{\frac {1}{3}}\rho d\mu d\varpi d\left[a^{3}(1+\alpha y)^{3}\right].$

Il faut multiplier ensuite respectivement ces produits par les distances de chaque force aux plans qui lui sont parallèles. Ces distances sont

${\begin{aligned}a(1+\alpha y)\mu ,\qquad &a(1+\alpha y){\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,\\&a(1+\alpha y){\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi \,;\end{aligned}}$

les moments des forces seront par conséquent de cette forme

$\mathrm {R} \rho d\mu d\varpi d\left[a^{5}(1+\alpha y)^{5}\right],$

$\mathrm {R}$ étant une fonction de

$\mu ,\quad {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi ,\quad {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi ,$