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MÉMOIRE SUR LA FIGURE DE LA TERRE.

la nature des solides homogènes, dont tous les axes passant par leur centre de gravité sont des axes principaux de rotation ; pour cela, soit $\mathrm {R}$ le rayon mené de ce centre à une molécule quelconque $d\mathrm {M}$ du solide ; on aura

$d\mathrm {M} =-\mathrm {R} ^{2}d\mathrm {R} d\mu d\varpi ,$

d’où il est aisé de conclure que les moments d’inertie du solide, relativement aux plans de ses trois axes principaux, sont

${\begin{aligned}&-\iiint \mathrm {R} ^{4}d\mathrm {R} \mu ^{2}d\mu d\varpi ,\\&-\iiint \mathrm {R} ^{4}d\mathrm {R} \left(1-\mu ^{2}\right)\cos ^{2}\varpi d\mu d\varpi ,\\&-\iiint \mathrm {R} ^{4}d\mathrm {R} \left(1-\mu ^{2}\right)\sin ^{2}\varpi d\mu d\varpi .\end{aligned}}$

Si l’on exécute les intégrations relatives à $\mathrm {R}$ et que l’on nomme $\mathrm {R} '$ le rayon $\mathrm {R}$ prolongé jusqu’à la surface, ces trois moments deviendront

${\begin{aligned}&-{\frac {1}{5}}\iint \mathrm {R} '^{5}\mu ^{2}d\mu d\varpi ,\\&-{\frac {1}{5}}\iint \mathrm {R} '^{5}\left(1-\mu ^{2}\right)\cos ^{2}\varpi d\mu d\varpi ,\\&-{\frac {1}{5}}\iint \mathrm {R} '^{5}\left(1-\mu ^{2}\right)\sin ^{2}\varpi d\mu d\varpi .\end{aligned}}$

Maintenant, on sait que, si ces moments sont égaux entre eux, tous les axes du corps qui passent par son centre de gravité seront des axes principaux de rotation ; or il est clair, par ce qui précède, que cette égalité aura lieu si la valeur de $\mathrm {R} '^{5}$ peut être mise sous cette forme

$\mathrm {R} '^{5}=\mathrm {Y^{(0)}+Y^{(1)}+Y^{(3)}+Y^{(4)}} +\ldots ,$

c’est-à-dire si la fonction $\mathrm {Y} ^{(2)}$ disparaît de l’expression de $\mathrm {R} '^{5}.$ Telle est donc l’équation générale des sphéroïdes homogènes dont tous les axes passant par le centre de gravité sont des axes principaux de rotation, et l’on voit que la sphère n’est pas le seul solide qui jouisse de cette propriété.