les deux premières intégrales du second membre de cette équation étant prises depuis
jusqu’à
et les trois dernières étant prises depuis
jusqu’à
Cette équation ne détermine ni
ni
elle donne seulement un rapport entre ces deux quantités, en sorte que
est arbitraire et peut être déterminé à volonté.
On aura ensuite
![{\displaystyle (b)\qquad \qquad \left\{{\begin{aligned}0=&{\frac {4\eta a^{i}}{2i+1}}\int \rho d{\frac {\mathrm {Y} _{i}}{a^{i-2}}}-{\frac {4\eta }{3a}}\mathrm {Y} _{i}\int \rho da^{3}\\&+{\frac {4\eta }{(2i+1)a^{i+1}}}\int \rho d\left(a^{i+3}\mathrm {Y} _{i}\right)+a^{i}z_{i},\end{aligned}}\right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b83c5d27e6df7587bfbdc28a329a9f924541846d)
la première intégrale étant prise depuis
jusqu’à
et les deux autres étant prises depuis
jusqu’à
Cette équation donnera la valeur de
relative à chaque couche fluide, lorsque la loi des densités
sera connue.
Pour réduire ces différentes intégrales dans les mêmes limites, soit
![{\displaystyle {\frac {4\eta }{2i+1}}\int \rho d{\frac {\mathrm {Y} _{i}}{a^{i-2}}}+z_{i}={\frac {4\eta }{2i+1}}z'_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/127e0b94836790d36b7ef179edceddcaa0a28543)
l’intégrale étant prise depuis
jusqu’à
sera une quantité indépendante de
puisque la fonction
en est indépendante ; l’équation
deviendra ainsi
![{\displaystyle 0=(2i+1)a^{i}\mathrm {Y} _{i}\int \rho da^{3}+3a^{2i+1}\int \rho d{\frac {\mathrm {Y} _{i}}{a^{i-2}}}-3\int \rho d\left(a^{i+3}\mathrm {Y} _{i}\right)-3a^{2i+1}z'_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86b82a5b94d943aa7da3e5a55a330cafb70ca2ef)
toutes les intégrales étant prises depuis
jusqu’à ![{\displaystyle a=a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4963d6b13141d97830f6f99d1642aa1a5eab2e65)
On peut faire disparaître les signes d’intégration par des différentiations, et l’on a l’équation différentielle du second ordre
![{\displaystyle (c)\qquad \qquad {\frac {\partial ^{2}\mathrm {Y} _{i}}{\partial a^{2}}}=\left[{\frac {i(i+1)}{a^{2}}}-{\frac {6\rho a}{\int \rho da^{3}}}\right]\mathrm {Y} _{i}-{\frac {6\rho a^{2}}{\int \rho da^{3}}}{\frac {\partial \mathrm {Y} _{i}}{\partial a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9f31c9d7ac1c2738564e033013fc1b1680b6694)
L’intégrale de cette équation donnera la valeur de
avec deux constantes arbitraires, qui seront des fonctions rationnelles et entières de l’ordre
des quantités
et
telles qu’en