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les représentant par $\mathrm {U} _{i},$ elles satisferont à l’équation aux différences partielles

$0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {U} _{i}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {U} _{i}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {U} _{i}.$

L’une de ces constantes se déterminera au moyen de la fonction $z_{i},$ qui a disparu par les différentiations ; elle sera un multiple de cette fonction. Quant à l’autre constante, si l’on suppose que le fluide recouvre un noyau solide, elle se déterminera au moyen de l’équation à la surface du noyau, en observant que la valeur de $\mathrm {Y} _{i}$ relative à la couche fluide contiguë à cette surface est la même que celle de cette surface. On voit ainsi que, dans ce cas, la figure du sphéroïde dépend de la figure du noyau intérieur et des forces qui sollicitent le fluide.

Si, comme nous le supposons, le sphéroïde est entièrement fluide, rien ne paraissant alors déterminer une des constantes arbitraires, il semble qu’il doit y avoir une infinité de figures d’équilibre ; c’est ce qu’il s’agit d’examiner. Pour cela, nous observerons d’abord que les couches du sphéroïde doivent diminuer de densité, en allant du centre à la surface ; car il est clair que, si une couche plus dense était placée au-dessus d’une couche moins dense, ses molécules pénétreraient dans celle-ci, de même qu’un corps s’enfonce dans un fluide de moindre densité ; le sphéroïde ne serait donc point en équilibre. Mais, quelle que soit sa densité au centre, elle ne peut être que finie ; en réduisant donc l’expression de $\rho$ dans une suite ascendante par rapport aux puissances de $a,$ cette suite sera de la forme $\beta -\gamma a^{n}+\ldots ,\ \beta ,\gamma$ et $n$ étant positifs ; on aura ainsi

${\frac {a^{3}\rho }{\int \rho da^{3}}}=1-{\frac {n\gamma }{(n+3)\beta }}a^{n}+\ldots ,$

et l’équation différentielle en $\mathrm {Y} _{i}$ deviendra

${\frac {\partial ^{2}\mathrm {Y} _{i}}{\partial a^{2}}}={\frac {\mathrm {Y} _{i}}{a^{2}}}\left[i(i+1)-6+{\frac {6n\gamma }{(n+3)\beta }}a^{n}-\ldots \right]-{\frac {6}{a}}{\frac {\partial \mathrm {Y} _{i}}{\partial a}}-\ldots .$

Pour intégrer cette équation, supposons que $\mathrm {Y} _{i}$ soit exprimé par