Pour obtenir ces intégrales, je vais rappeler un théorème que j’ai démontré dans les Mémoires cités de l’Académie.
et
étant deux fonctions rationnelles et entières de
et
la première de l’ordre
la seconde de l’ordre
et telles que l’on ait
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&{\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {Y} _{i}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} _{i}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {Y} _{i},\\0=&{\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {U} _{i'}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {U} _{i'}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {U} _{i'},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1912f4ac81c8360756618c3f5f903e63639b656d)
on a généralement, lorsque
et
sont deux nombres différents,
![{\displaystyle \iint \mathrm {Y} _{i}\mathrm {U} _{i}d\mu d\varpi =0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d65aebea4fc51b95c5d24813907e4f8e9f36a3b)
les intégrales étant prises depuis
jusqu’à
et depuis
jusqu’à
Cela posé, si dans les trois dernières équations relatives au centre de gravité on substitue pour
sa valeur
elles se réduiront, en vertu de ce théorème, aux suivantes :
![{\displaystyle {\begin{aligned}0=&\iiint \rho \mu d\mu d\varpi d\left(a^{4}Y_{1}\right),\\0=&\iiint \rho d\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi d\left(a^{4}Y_{1}\right),\\0=&\iiint \rho d\mu d\varpi {\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi d\left(a^{4}Y_{1}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2a4ea3146b20bbf5f9b17e9efe084dd8fb509b9)
Maintenant on a
![{\displaystyle \mathrm {Y} _{1}={\frac {\mathrm {U} _{1}}{a}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10cd37b6a7b66d1ca4ddf88de6b317956158a2f9)
et
étant une fonction linéaire de
et
il est compris dans la forme
![{\displaystyle \mathrm {H\mu +H'{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\sin \varpi +H''{\sqrt {1-\mu ^{2}}}\cos \varpi } ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7359b8f289ca4196591fa355723c5350193cab5)
étant des constantes arbitraires qui, dans ce cas, sont indépendantes de
puisque
en est indépendant ; en substituant donc cette valeur de
dans les équations précédentes, on trouvera
![{\displaystyle 0=\mathrm {H} \int \rho da^{3},\qquad 0=\mathrm {H} '\int \rho da^{3},\qquad 0=\mathrm {H} ''\int \rho da^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0732bc06bf317999aa99f81c148efd1ec57d79c)