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d’où $\mathrm {H=0,\ H'=0,\ H''} =0\,;$ partant $\mathrm {Y} _{1}=0,$ et il est aisé d’en conclure que le centre de gravité du sphéroïde terrestre est le centre de gravité de chacune de ses couches, puisque, relativement à chacune d’elles, on a

$\mathrm {Y} _{1}=0.$

Reprenons maintenant l’expression précédente de $\mathrm {Y} _{i}$ par une suite ascendante relativement aux puissances de $a,$

$\mathrm {Y} _{i}=\mathrm {U} _{i}a^{s}+\mathrm {U} '_{i}a^{s'}+\ldots .$

Dans cette suite, $s$ est, comme on l’a vu, égal à $i-2\,;$ ainsi $i$ étant supposé égal ou plus grand que $2,\ s$ est zéro ou positif. De plus, les fonctions $\mathrm {U} '_{i},\mathrm {U} ''_{i},\ldots$ sont données en $\mathrm {U} _{i},$ en sorte que l’on a

$\mathrm {Y} _{i}=h\mathrm {U} _{i},$

$h$ étant fonction de $a,$ et $\mathrm {U} _{i}$ en étant indépendant. Si l’on substitue cette valeur de $\mathrm {Y} _{i}$ dans l’équation $(c),$ on aura

${\frac {d^{2}h}{da^{2}}}=\left[i(i+1)-{\frac {6\rho a^{3}}{\int \rho da^{3}}}\right]{\frac {h}{a^{2}}}-{\frac {6\rho a^{2}}{\int \rho da^{3}}}{\frac {dh}{d\alpha }}.$

Le produit $i(i+1)$ est égal ou plus grand que $6$ lorsque $i$ est égal ou plus grand que $2,$ et la fonction ${\frac {\rho a^{3}}{\int \rho da^{3}}}$ est moindre que l’unité ; en effet, son dénominateur $\int \rho da^{3}$ est égal à $\rho a^{3}-\int a^{3}d\rho ,$ et la quantité $-\int a^{3}d\rho$ est positive, puisque $\rho$ diminue du centre à la surface. Cela posé, si $h$ et ${\frac {dh}{da}}$ ont le même signe en partant du centre, ils conserveront le même signe jusqu’à la surface. Pour le faire voir, supposons que ces deux quantités soient positives au centre ; $dh$ doit devenir négatif avant $h,$ et il est clair qu’il doit pour cela passer par zéro. Mais, dès l’instant où il serait nul, $d^{2}h$ deviendrait positif en vertu de l’équation précédente, et par conséquent $dh$ commencerait à croître ; il ne peut donc jamais devenir négatif, d’où il suit que $h$ et $dh$ conservent constamment le même signe du centre à la surface.