Pour cela, reprenons l’équation
![{\displaystyle y=\mathrm {X} +(t-\theta )\mathrm {Y} +(t-\theta )^{2}\mathrm {Z} +(t-\theta )^{3}\mathrm {S} +\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e475f26a06de6807e8666ae704304bfdf5ab299)
puisque la constante
est supposée disparaître de cette expression de
on aura l’équation identique
![{\displaystyle (a)\quad 0={\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial \theta }}-\mathrm {Y} +(t-\theta )\left({\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial \theta }}-2\mathrm {Z} \right)+(t-\theta )^{2}\left({\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \theta }}-3\mathrm {S} \right)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1abffd1b4921c2e100086ec87fab4cb94ce50df5)
En appliquant à cette équation le raisonnement que nous avons fait sur celle-ci,
![{\displaystyle 0=\mathrm {K+K'} t+K''t^{2}+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d246657e42bf730b9eaf5dca978cc0ca16979b40)
on voit que les coefficients des puissances successives de
doivent se réduire d’eux-mêmes à zéro. Les fonctions
ne renferment
qu’autant qu’il est contenu dans
en sorte que, pour former les différences partielles
il suffit de faire varier
dans ces fonctions, ce qui donne
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial \theta }}=&{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial c}}{\frac {dc}{d\theta }}+{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial c'}}{\frac {dc'}{d\theta }}+{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial c''}}{\frac {dc''}{d\theta }}+\ldots ,\\\\{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial \theta }}=&{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial c}}{\frac {dc}{d\theta }}+{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial c'}}{\frac {dc'}{d\theta }}+{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial c''}}{\frac {dc''}{d\theta }}+\ldots ,\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75825d4a0577b91c862f07adb577d6a49bf09e07)
XVIII.
Supposons d’abord que dans les fonctions
aucune des arbitraires ne multiplie l’arc
sous les signes des sinus et des cosinus ; cet arc ne sera pas produit par les différences partielles
En égalant donc à zéro, dans l’équation
les coefficients des puissances successives de
on aura
![{\displaystyle {\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial \theta }}=\mathrm {Y} ,\qquad {\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial \theta }}=2\mathrm {Z} ,\qquad {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \theta }}=3\mathrm {S} ,\qquad \ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6688c14f10c7325cee3e947182a61881b09b49de)
Si l’on différentie la première de ces équations
fois relativement