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à $t,$ et que l’on substitue pour ${\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial \theta }}$ sa valeur, on aura

${\begin{aligned}{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial c}}\,{\frac {dc}{d\theta }}\ \ +\ \ {\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial c'}}\ \ {\frac {dc'}{d\theta }}\ +\ \ \ {\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial c''}}\ \ {\frac {dc''}{d\theta }}+\ldots =&\mathrm {Y} ,\\\\{\frac {\partial ^{2}\mathrm {X} }{\partial c\partial t}}\ {\frac {dc}{d\theta }}+\,{\frac {\partial ^{2}\mathrm {X} }{\partial c'\partial t}}\,{\frac {dc'}{d\theta }}\,+\,{\frac {\partial ^{2}\mathrm {X} }{\partial c''\partial t}}\,{\frac {dc''}{d\theta }}+\ldots =&{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial t}},\\\\{\frac {\partial ^{3}\mathrm {X} }{\partial c\partial t^{2}}}{\frac {dc}{d\theta }}+{\frac {\partial ^{3}\mathrm {X} }{\partial c'\partial t^{2}}}{\frac {dc'}{d\theta }}+{\frac {\partial ^{3}\mathrm {X} }{\partial c''\partial t^{2}}}{\frac {dc''}{d\theta }}+\ldots =&{\frac {\partial ^{2}\mathrm {Y} }{\partial t^{2}}},\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

On tirera de ces $i$ équations autant d’équations différentielles entre les quantités $c,c',c'',\ldots$ et leurs premières différences, et, en les intégrant, on aura ces constantes en fonctions de $\theta .$ Presque toujours, l’inspection seule de la première des équations précédentes suffira pour avoir les équations différentielles en $c,c',c'',\ldots ,$ en comparant séparément les coefficients des sinus et des cosinus qu’elle renferme ; car il est visible que les valeurs de $c,c',\ldots$ étant indépendantes de $t,$ les équations différentielles qui les déterminent doivent être pareillement indépendantes de cette variable. Le plus souvent ces équations ne seront intégrales que par des approximations successives, qui pourront introduire l’arc $\theta$ dans les valeurs de $c,c',c'',\ldots ,$ lors même que cet arc ne se rencontre point dans les valeurs rigoureuses ; mais on le fera disparaître par la méthode que nous venons d’exposer pour faire disparaître l’arc $t$ de l’expression de $y.$

Il peut arriver que l’équation ${\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial \theta }}=\mathrm {Y} ,$ et ses $i-1$ différentielles en $t$ ne donnent pas un nombre $i$ d’équations distinctes entre les quantités $c,c',c'',\ldots$ et leurs différences. Dans ce cas, il faudra recourir aux équations

${\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial \theta }}=2\mathrm {Z} ,\qquad {\frac {\partial \mathrm {Z} }{\partial \theta }}=3\mathrm {S} ,\qquad \ldots .$

XIX.

Supposons maintenant que quelques-unes des arbitraires $c,c',c'',\ldots$ multiplient l’arc $t$ dans les fonctions périodiques $\mathrm {X,Y,Z,} \ldots \,;$ la diffé-