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DES PLANÈTES ET DES SATELLITES.

${\begin{aligned}&r'\ =9{,}00\\&+m\left[518{,}78\cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+5{,}73\cos 2(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\right.\\&\quad \qquad \left.+1{,}36\cos 3(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+0{,}49\cos 4(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+\ldots \right]\\&+m''\left[7{,}16\cos(n''t-nt+\varepsilon ''-\varepsilon )-824{,}07\cos 2(n''t-nt+\varepsilon ''-\varepsilon ')\right.\\&\quad \qquad \left.-6{,}29\cos 3(n''t-nt+\varepsilon ''-\varepsilon )-1{,}66\cos 4(n''t-nt+\varepsilon ''-\varepsilon ')-\ldots \right],\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&r''=14{,}38\\&+m\ \left[5{,}88\cos(n''t-nt+\varepsilon ''-\varepsilon )+0{,}19\cos 2(n''t-nt+\varepsilon ''-\varepsilon )\right.\\&\quad \qquad \left.+0{,}03\cos 3(n''t-nt+\varepsilon ''-\varepsilon )+0{,}00\cos 4(n''t-nt+\varepsilon ''-\varepsilon )+\ldots \right]\\&+m'\left[452{,}98\cos(n''t-n't+\varepsilon ''-\varepsilon ')-9{,}13\cos 2(n''t-n't+\varepsilon ''-\varepsilon ')\right.\\&\quad \qquad \left.+2{,}16\cos 3(n''t-n't+\varepsilon ''-\varepsilon ')+0{,}59\cos 4(n''t-n't+\varepsilon ''-\varepsilon ')+\ldots \right],\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&v\ \ =nt\ \ +\varepsilon \\&+m'\ \left[9300'\sin(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )-1\,227\,214'\sin 2(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\right.\\&\quad \qquad \left.-3526'\sin 3(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )-705'\sin 4(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )-\ldots \right],\\&+m''\left[1158'\sin(n''t-nt+\varepsilon ''-\varepsilon )-1007'\sin 2(n''t-nt+\varepsilon ''-\varepsilon )\right.\\&\quad \qquad \left.-101'\sin 3(n''t-nt+\varepsilon ''-\varepsilon )-18'\sin 4(n''t-nt+\varepsilon ''-\varepsilon )-\ldots \right],\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&v'\ =n't\ +\varepsilon '\\&+m\ \ \left[387\,482'\sin(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+2727'\sin 2(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\right.\\&\quad \qquad \left.+509'\sin 3(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+12'\sin 4(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )+\ldots \right],\\&+m''\left[10\,067'\sin(n''t-nt+\varepsilon ''-\varepsilon ')-626\,246'\sin 2(n''t-nt+\varepsilon ''-\varepsilon ')\right.\\&\quad \qquad \left.-3717'\sin 3(n''t-nt+\varepsilon ''-\varepsilon ')-825'\sin 4(n''t-nt+\varepsilon ''-\varepsilon ')-\ldots \right],\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&v''=n''t+\varepsilon ''\\&+m\ \left[-1306'\sin(n''t-nt+\varepsilon ''-\varepsilon )+38'\sin 2(n''t-nt+\varepsilon ''-\varepsilon )\right.\\&\quad \qquad \left.+8'\sin 3(n''t-nt+\varepsilon ''-\varepsilon )+1'\sin 4(n''t-nt+\varepsilon ''-\varepsilon )+\ldots \right],\\&+m'\left[207\,375'\sin(n''t-n't+\varepsilon ''-\varepsilon ')+2760'\sin 2(n''t-n't+\varepsilon ''-\varepsilon ')\right.\\&\quad \qquad \left.+559'\sin 3(n''t-n't+\varepsilon ''-\varepsilon ')+142'\sin 4(n''t-n't+\varepsilon ''-\varepsilon ')+\ldots \right],\end{aligned}}$

(Voir la pièce citée, p. 63 et suivantes.)

Cela posé, considérons d’abord le terme $m'dv\mathrm {A} ^{(1)}\sin(v'-v)$ de l’expression de $d\mathrm {R} .$ Si l’on y substitue au lieu de $v$ sa valeur précédente, il est aisé de voir qu’il n’en peut résulter aucun terme constant ou proportionnel à $\sin \mathrm {V} .$ Il n’en est pas ainsi de la substitution de la valeur de $v',$ et l’on voit facilement que le terme

$-m''626\,246'\sin 2(n''t-n't+\varepsilon ''-\varepsilon )$

de cette valeur produira dans $m'dv\mathrm {A} ^{(1)}\sin(v'-v)$ le suivant

$-m'm''626\,246'\mathrm {A} ^{(1)}ndt\cos(n't-nt+\varepsilon '-\varepsilon )\sin 2(n''t-n't+\varepsilon ''-\varepsilon ')$