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$dt$ étant l’élément du temps, ${\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}$ sera la vitesse angulaire de rotation du corps autour de son axe instantané de rotation, et les quantités

${\frac {p}{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}},\quad {\frac {q}{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}},\quad {\frac {r}{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}}$

seront les cosinus des angles que l’axe instantané de rotation forme : 1^o avec l’axe de l’équateur, que nous nommerons premier axe principal ; 2^o avec le second axe principal perpendiculaire aux deux premiers et formant, avec l’équinoxe de printemps, un angle égal à $90^{\circ }+\varphi .$ Ces résultats sont démontrés dans plusieurs Ouvrages, et spécialement dans la Mécanique analytique de Lagrange.

Supposons que les trois axes principaux dont nous venons de parler soient les trois axes principaux de rotation du corps ; soient $\mathrm {A,B,C}$ les moments d’inertie du corps relativement à ces axes. Nommons $x',y',z'$ les trois coordonnées d’une molécule $dm$ du corps, rapportées à ces axes, et $\mathrm {P,Q,R}$ les forces dont elle est animée parallèlement aux mêmes axes ; si l’on fait

${\begin{aligned}\mathrm {S} dm\,dt(\mathrm {R} y'-\mathrm {Q} z')=&d\mathrm {N} ,\\\mathrm {S} dm\,dt(\mathrm {P} z'-\mathrm {R} x')=&d\mathrm {N} ',\\\mathrm {S} dm\,dt(\mathrm {Q} x'-\mathrm {P} y')=&d\mathrm {N} '',\end{aligned}}$

le signe intégral $\mathrm {S}$ se rapportant à la molécule $dm$ et devant s’étendre à la Terre entière, on aura

(D)

$\left\{{\begin{aligned}dp+\mathrm {\frac {C-B}{A}} rq\,dt=&{\frac {d\mathrm {N} }{\mathrm {A} }},\\dq+\mathrm {\frac {A-C}{B}} rp\,dt=&{\frac {d\mathrm {N} '}{\mathrm {B} }},\\dr+\mathrm {\frac {B-A}{C}} pq\,dt=&{\frac {d\mathrm {N} ''}{\mathrm {C} }}.\end{aligned}}\right.$

Ces trois équations, remarquables par leur simplicité, ont été données par Euler dans le troisième Volume de sa Mécanique ; combinées avec les équations $(c),$ elles me paraissent offrir la détermination la