Rappelons présentement un théorème remarquable sur les fonctions rationnelles et entières de
et
étant une pareille fonction de l’ordre
assujettie à l’équation aux différences partielles
![{\displaystyle 0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} ^{(i)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i(i+1)\mathrm {Y} ^{(i)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ae794a9cc56cb5631ccb7872c6740c5f5ed6447)
et
étant une pareille fonction de l’ordre
assujettie à l’équation aux différences partielles
![{\displaystyle 0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {U} ^{(i')}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {U} ^{(i')}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+i'(i'+1)\mathrm {U} ^{(i')},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d08568da909418c10b63fc7653b661b089f7019)
on a généralement, lorsque les deux nombres
et
sont différents,
(E)
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les intégrales étant prises dans les limites précédentes.
Cela posé, concevons
développé dans une série de fonctions semblables, en sorte que l’on ait
![{\displaystyle \mathrm {R'^{5}=U^{(0)}+U^{(1)}+U^{(2)}+U^{(3)}+U^{(4)}} +\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adceb16988e68db967e7d7f3f664e00ae2315a5b)
la fonction
est égale à
la partie
de cette fonction, et généralement toutes les quantités indépendantes de
et de
sont de la forme
la partie
est de la forme
puisqu’elle satisfait à l’équation aux différences partielles
![{\displaystyle 0={\frac {\partial \left[\left(1-\mu ^{2}\right){\cfrac {\partial \mathrm {Y} ^{(2)}}{\partial \mu }}\right]}{\partial \mu }}+{\frac {\cfrac {\partial ^{2}\mathrm {Y} ^{(2)}}{\partial \varpi ^{2}}}{1-\mu ^{2}}}+6\mathrm {Y} ^{(2)}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51756594f1c1314f3de3538434a0a19263a90181)
on aura donc, en vertu de l’équation (E),
![{\displaystyle \mathrm {A} ={\frac {1}{2}}\mathrm {S} d\mu d\varpi \left[{\frac {2}{3}}\mathrm {U} ^{(0)}+\left({\frac {1}{3}}-\mu ^{2}\right)\mathrm {U} ^{(2)}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/598d1ef5b4103d39ff2216936b93305ba80cb76f)