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satellites, on aura, en vertu de leurs attractions et de celle des satellites intérieurs.

$-r{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial s}}+r^{2}s{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial r}}=-{\frac {\mathrm {B} }{r^{2}}}\sin \gamma \cos \gamma \sin(v-\psi )\,;$

$\mathrm {B}$ étant un coefficient constant dépendant des masses et de la constitution des anneaux et des satellites intérieurs. Soient, pour abréger,

$\mathrm {K} ={\frac {3m'r^{3}}{4r'^{3}}},\qquad \mathrm {K} '={\frac {\alpha h-{\frac {1}{2}}\alpha \varphi +{\frac {1}{2}}\mathrm {B} }{r^{2}}},$

on aura

$0={\frac {d^{2}s}{dv^{2}}}+2\mathrm {K} \sin \lambda \cos \lambda \sin v-2\mathrm {K} '\sin \gamma \cos \gamma \sin(v-\psi )\,;$

d’où l’on tire, en intégrant et négligeant, comme on le peut ici, les constantes arbitraires,

$s=\mathrm {K} v\sin \lambda \cos \lambda \cos v-\mathrm {K} 'v\sin \gamma \cos \gamma \cos(v-\psi ).$

Concevons maintenant, par le centre de Saturne, un plan passant par les nœuds de l’équateur avec l’orbite de la planète, et formant l’angle $\theta$ avec le plan de l’équateur. Soient $\varpi$ l’inclinaison de l’orbite du satellite sur ce nouveau plan, et $v+\Gamma$ la distance du satellite au nœud de son orbite avec ce plan ; enfin soit $\Pi$ la distance de ce nœud au nœud de l’équateur avec l’orbite, que nous supposerons plus avancé en longitude. Si l’on fait varier $\varpi$ de $\delta \varpi ,\ \Pi$ étant supposé constant, il en résultera pour $s$ une valeur égale à $\delta \varpi \sin(v+\Gamma ).$ Si, $\varpi$ étant supposé constant, on fait varier $\Pi$ de $\delta \Pi ,$ la valeur résultante pour $s$ sera $\delta \Pi \sin \varpi \cos(v+\Gamma ).$ On aura donc, en faisant tout varier à la fois,

$\delta \varpi \sin(v+\Gamma )+\delta \Pi \sin \varpi \cos(v+\Gamma )=s.$

En égalant cette valeur de $s$ à la précédente, on aura

(1)

$\left\{{\begin{aligned}\delta \varpi &\sin(v+\Gamma )+\delta \Pi \sin \varpi \cos(v+\Gamma )\\&=\mathrm {K} v\sin \lambda \cos \lambda \cos v-\mathrm {K} 'v\sin \gamma \cos \gamma \cos(v-\psi ).\end{aligned}}\right.$

On a, en ne portant l’approximation que jusqu’à la première puis-