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sance de $v,$

$\delta \varpi =v{\frac {\partial \varpi }{\partial v}},\qquad \delta \Pi =v{\frac {\partial \Pi }{\partial v}}.$

Si l’on substitue, dans le second membre de l’équation (1),

$cos(v+\Gamma -\Gamma )\quad {\text{au lieu de}}\quad \cos v$

et

$cos(v+\Gamma -\psi -\Gamma )\quad {\text{au lieu de}}\quad \cos(v-\psi )\,;$

si on les développe ensuite en sinus et cosinus de $v+\Gamma ,$ la comparaison de leurs coefficients à ceux du premier membre donnera

(A)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {\partial \varpi }{\partial v}}=&\mathrm {K} \sin \lambda \cos \lambda \sin \Gamma -\mathrm {K} '\sin \gamma \cos \gamma \sin(\psi +\Gamma ),\\{\frac {\partial \Pi }{\partial v}}\sin \varpi =&\mathrm {K} \sin \lambda \cos \lambda \cos \Gamma -\mathrm {K} '\sin \gamma \cos \gamma \cos(\psi +\Gamma ).\end{aligned}}\right.$

Les formules de la Trigonométrie sphérique donnent, en nommant $\mathrm {A}$ l’inclinaison de l’équateur de Saturne à son orbite,

${\begin{aligned}sin\lambda \sin \Gamma =&\sin(\mathrm {A} -\theta )\sin \Pi ,\\\sin \lambda \cos \Gamma =&\sin \varpi \cos(\mathrm {A} -\theta )+\sin(\mathrm {A} -\theta )\cos \varpi \cos \Pi ,\\\cos \lambda =&\cos \varpi \cos(\mathrm {A} -\theta )-\sin \varpi \sin(\mathrm {A} -\theta )\cos \Pi ,\\\sin \gamma \sin(\psi +\Gamma )=&\sin \theta \sin \Pi ,\\\sin \gamma \cos(\psi +\Gamma )=&\sin \theta \cos \varpi \cos \Pi -\sin \varpi \cos \theta ,\\\cos \gamma =&\cos \theta \cos \varpi +\sin \theta \sin \varpi \cos \Pi .\end{aligned}}$

En faisant donc

$\mathrm {K\sin(A-\theta )\cos(A-\theta )=K'} \sin \theta \cos \theta ,$

ce qui donne, pour déterminer $\theta ,$ l’équation

$\mathrm {\operatorname {tang} 2\theta ={\frac {K\sin 2A}{K'+K\cos 2A}}} ,$

on aura

${\begin{aligned}\end{aligned}}$

(A)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {\partial \varpi }{\partial v}}=&-{\frac {1}{2}}\left[\mathrm {K\sin ^{2}(A-\theta )+K'} \sin ^{2}\theta \right]\sin \varpi \sin 2\Pi ,\\{\frac {\partial \Pi }{\partial v}}=&\qquad \,\left[\mathrm {K\cos ^{2}(A-\theta )+K'} \cos ^{2}\theta \right]\cos \varpi \\&-\quad \left[\mathrm {K\sin ^{2}(A-\theta )+K'} \sin ^{2}\theta \right]\cos \varpi \cos ^{2}\Pi .\end{aligned}}\right.$