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III.

Pour appliquer des nombres à ces formules, il faut connaître les valeurs de $\mathrm {K}$ et de $\mathrm {K} '.$ Celle de $\mathrm {K}$ est facile à déterminer, car ${\frac {m'}{r'^{2}}}$ est l’attraction du Soleil sur Saturne, et cette attraction est égale à la force centrifuge due au mouvement de Saturne dans son orbite : or cette force est égale au carré de la vitesse de Saturne, divisé par le rayon de l’orbite. En nommant donc $\mathrm {T} '$ la durée de la révolution de Saturne, et $\pi$ la demi-circonférence dont le rayon est l’unité, la force centrifuge sera ${\frac {4\pi ^{2}r'}{\mathrm {T} '^{2}}}\,;$ en l’égalant à ${\frac {m'}{r'^{2}}},$ on aura

${\frac {m'}{r'^{2}}}={\frac {4\pi ^{2}}{\mathrm {T} '^{2}}}.$

Si l’on nomme $\mathrm {T}$ la durée de la révolution du dernier satellite, on aura pareillement

${\frac {1}{r^{3}}}={\frac {4\pi ^{2}}{\mathrm {T} ^{2}}}\,;$

on aura donc

$\mathrm {K} ={\frac {3}{4}}{\frac {m'r^{3}}{r'^{3}}}={\frac {3}{4}}\mathrm {\frac {T^{2}}{T'^{2}}} .$

Les observations donnent

${\begin{aligned}\mathrm {T} \ =&\quad \ \ 79^{\mathrm {j} }{,}3296,\\\mathrm {T} '=&10759^{\mathrm {j} }{,}08,\end{aligned}}$

d’où l’on tire

$\mathrm {K} =0{,}000040774.$

La valeur de $\mathrm {K} '$ est égale à ${\frac {\alpha h-{\frac {1}{2}}\alpha \varphi +{\frac {1}{2}}\mathrm {B} }{r^{2}}}.$ Dans cette expression, le demi-axe de Saturne est pris pour unité, mais son aplatissement $\alpha h$ est inconnu, ainsi que la quantité ${\frac {1}{2}}\mathrm {B} ,$ qui dépend de la masse des anneaux et des six premiers satellites. Il est donc impossible de déterminer exactement sa valeur, mais on peut connaître d’une manière approchée la partie de $\mathrm {K} '$ qui dépend de l’action de Saturne.