Soit, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {K\cos ^{2}(A-\theta )+K'\cos ^{2}\theta -{\frac {1}{2}}K\sin ^{2}(A-\theta )-{\frac {1}{2}}K'\sin ^{2}\theta } =&p,\\\mathrm {{\frac {1}{2}}K\sin ^{2}(A-\theta )+{\frac {1}{2}}K'\sin ^{2}\theta } =&q\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b33fd9c108139c11f6bce09f5b9316297685e0fa)
on aura
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \varpi }{\partial v}}=&-q\sin \varpi \sin 2\Pi ,\\{\frac {\partial \Pi }{\partial v}}=&\quad \ p\cos \varpi -q\cos \varpi \cos 2\Pi ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ad9b15d685b141631dffac7868d785a804f8d60)
d’où l’on tire
![{\displaystyle {\frac {d\varpi \cos \varpi }{\sin \varpi }}={\frac {-qd\Pi \sin 2\Pi }{p-q\cos 2\Pi }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ccb11a61e0989edbc13e795e02cabcc02698c62a)
et, en intégrant.
![{\displaystyle \sin \varpi ={\frac {a}{\sqrt {p-q\cos 2\Pi }}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0910493745ff3e2e61062591f3e7b9e53fcf8dd7)
étant une constante arbitraire. L’expression précédente de
donnera donc
![{\displaystyle dv={\frac {d\Pi }{\sqrt {(p-q\cos 2\Pi )(p-a^{2}-q\cos 2\Pi )}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/367ca908a3c23ca7bc1a471a361df548475f9e91)
équation différentielle dont l’intégration dépend de la rectification des sections coniques. On peut mettre cette équation sous une forme plus simple en faisant
![{\displaystyle \operatorname {tang} \Pi ={\sqrt {\frac {p-q}{p+q}}}\operatorname {tang} \Pi '\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/234978ce96391a01b902f600a2176b913bc1c983)
elle devient alors
![{\displaystyle dv={\frac {d\Pi '}{{\sqrt {p^{2}-q^{2}}}{\sqrt {1-{\cfrac {a^{2}p}{p^{2}-q^{2}}}-{\cfrac {a^{2}q}{p^{2}-q^{2}}}\cos 2\Pi '}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a2ff487b62a14a962e4d8010b908313bfeca3aa)
Cette équation donnera, en l’intégrant par les méthodes connues, l’expression de
en
et, par le retour des suites, on aura celle de
en
On aura ensuite, en faisant
ϐ,
![{\displaystyle \Pi =\Pi '-{\text{ϐ}}\sin 2\Pi '+{\frac {{\text{ϐ}}^{2}}{2}}\sin 4\Pi '-{\frac {{\text{ϐ}}^{3}}{3}}\sin 6\Pi '+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ab2adf3125e21ac332468a62b8193c4c5059a2e)