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ensemble les carrés des mêmes équations, on a

$\sin \theta '={\frac {\sin \theta }{v}},$

ce qui donne le rapport constant des sinus de réfraction et d’incidence.

Le cas que nous examinons est celui des milieux diaphanes ordinaires. On sait qu’alors le carré de la vitesse de la lumière est augmenté par l’action du milieu d’une quantité constante qui mesure la force réfractive de ce milieu, et qui est égale à la différence des carrés des sinus d’incidence et de réfraction, divisée par le carré du sinus de réfraction. [Voir le Chapitre I du Livre X de la Mécanique céleste ^[1].]

Second cas.

Le cas le plus simple, après le précédent est celui dans lequel l’action du milieu est variable et égale à une constante, plus un terme proportionnel au carré du cosinus de l’angle $\mathrm {V} .$ Dans ce cas, l’expression du carré de la vitesse $v$ est de la forme $\beta ^{2}+\alpha ^{2}\cos ^{2}\mathrm {V} ,$ ce qui donne

${\frac {\partial v}{\partial \cos \mathrm {V} }}={\frac {\alpha ^{2}\cos \mathrm {V} }{v}}.$

Les équations (3) et (4) deviennent ainsi

${\begin{aligned}\sin \theta \sin \varpi =&{\frac {{\text{ϐ}}^{2}\sin \theta '\sin \varpi '}{v}},\\\sin \theta \cos \varpi =&{\frac {{\text{ϐ}}^{2}\sin \theta '\cos \varpi '}{v}}-{\frac {\alpha ^{2}\sin \lambda \cos \mathrm {V} }{v}}.\end{aligned}}$

Ces deux équations donnent

$\left(\sin \theta \cos \varpi +{\frac {\alpha ^{2}\sin \lambda \cos \mathrm {V} }{v}}\right)^{2}+\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varpi ={\frac {{\text{ϐ}}^{4}\sin ^{2}\theta '}{v^{2}}}.$

En multipliant ensuite la dernière des mêmes équations par $\sin ^{2}\lambda ,$ et

1. Œuvres de Laplace, t. IV.