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substituant pour $\sin \lambda \sin \theta '\cos \varpi '$ sa valeur $\cos \lambda \cos \theta '-\cos \mathrm {V} ,$ on a

$\left[\sin \lambda \sin \theta \cos \varpi +{\frac {\left({\text{ϐ}}^{2}+\alpha ^{2}\sin ^{2}\lambda \right)\cos \mathrm {V} }{v}}\right]^{2}={\frac {{\text{ϐ}}^{4}\cos ^{2}\lambda \cos ^{2}\theta '}{v^{2}}}.$

Enfin, en multipliant cette équation par $\alpha ^{2}$ et en la retranchant de la précédente multipliée par $\beta ^{2}+\alpha ^{2}\sin ^{2}\lambda \,;$ en substituant ensuite au lieu de $\alpha ^{2}\cos ^{2}\mathrm {V}$ sa valeur $v^{2}-\beta ^{2}$ et supposant

$p={\text{ϐ}}^{2}+\alpha ^{2}\sin ^{2}\lambda ,$

on trouve, après toutes les réductions,

$v={\frac {{\text{ϐ}}^{2}{\sqrt {{\text{ϐ}}^{2}+\alpha ^{2}}}\cos \theta '}{\sqrt {{\text{ϐ}}^{2}p-\sin ^{2}\theta \left({\text{ϐ}}^{2}\cos ^{2}\varpi +p\sin ^{2}\varpi \right)}}}.$

L’expression précédente de $\sin \theta \sin \varpi$ donne ainsi

(5)

$\operatorname {tang} \theta '\sin \varpi '={\frac {{\sqrt {{\text{ϐ}}^{2}+\alpha ^{2}}}\sin \theta \sin \varpi }{\sqrt {{\text{ϐ}}^{2}p-\sin ^{2}\theta \left({\text{ϐ}}^{2}\cos ^{2}\varpi +p\sin ^{2}\varpi \right)}}}\,;$

l’expression de $\sin \theta \cos \varpi$ donne, en y substituant au lieu de $\cos \mathrm {V}$ sa valeur $\cos \lambda \cos \theta '-\sin \lambda \sin \theta '\cos \varpi ',$

(6)

$\operatorname {tang} \theta '\cos \varpi '={\frac {{\text{ϐ}}^{2}{\sqrt {{\text{ϐ}}^{2}+\alpha ^{2}}}\sin \theta \cos \varpi }{p{\sqrt {{\text{ϐ}}^{2}p-\sin ^{2}\theta \left({\text{ϐ}}^{2}\cos ^{2}\varpi +p\sin ^{2}\varpi \right)}}}}+{\frac {\alpha ^{2}\sin \lambda \cos \lambda }{p}}.$

Comparons maintenant ces résultats à ceux que donne la loi d’Huygens.

Imaginons une face naturelle ou artificielle du cristal sur laquelle soit tracée l’ellipse $\mathrm {AFE} ,$ dont le centre $\mathrm {C}$ soit celui d’un ellipsoïde de révolution $\mathrm {AFED} ,$ $\mathrm {CD}$ étant le demi-axe de révolution, parallèle à l’axe du cristal. Menons par $\mathrm {CD}$ un plan perpendiculaire à la face et la coupant suivant la droite $\mathrm {ACE} .$ Soit $\mathrm {RC}$ un rayon incident, et menons par $\mathrm {RC}$ un plan perpendiculaire à la face et la coupant suivant la droite $\mathrm {BCK} .$ Menons encore, dans le plan $\mathrm {RCK} ,$ $\mathrm {OC}$ perpendiculaire à $\mathrm {CR} ,$ et plaçons dans l’angle $\mathrm {OCK}$ la droite $\mathrm {OK}$ perpendiculaire à $\mathrm {OC} ,$ et qui représente la vitesse de la lumière dans le vide, vitesse que nous prendrons pour unité. Dans le plan de l’ellipse $\mathrm {AFE} ,$ menons