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En la multipliant par $d\varpi e^{-l\varpi {\sqrt {-1}}},$ le terme multiplié par $e^{l\varpi {\sqrt {-1}}}$ dans le développement de la puissance deviendra indépendant de $\varpi$ dans le produit ; d’où il est facile de conclure que l’on aura le coefficient de ce terme en prenant l’intégrale

$(a')\qquad \qquad {\frac {1}{\pi }}\int d\varpi \cos l\varpi (1+2\cos \varpi +\ldots +2\cos i\varpi )^{n}.$

depuis $\varpi$ nul jusqu’à $\varpi =\pi ,$ $\pi$ étant la demi-circonférence ou $200^{\mathrm {G} },$ car les termes de l’intégrale dépendants de $\varpi$ ne redeviennent tous nuls à la fois, et, pour la première fois, que dans ces limites.

Maintenant on a

${\begin{aligned}1+2\cos \varpi +\ldots +2\cos i\varpi =&{\frac {\cos i\varpi -\cos(i+1)\varpi }{1-\cos \varpi }}\\=&\cos i\varpi +{\frac {\cos {\frac {1}{2}}\varpi \sin i\varpi }{\sin {\frac {1}{2}}\varpi }}.\end{aligned}}$

Soit $i\varpi =t,$ on aura

$\cos i\varpi +{\frac {\cos {\frac {1}{2}}\varpi \sin i\varpi }{\sin {\frac {1}{2}}\varpi }}=\cos t+{\frac {\cos {\cfrac {t}{2i}}\sin t}{\sin {\cfrac {t}{2i}}}}.$

Le second membre de cette équation devient, à cause de $i$ infini,

$2i{\frac {\sin t}{t}}.$

De plus, si l’on fait

$l=ir{\sqrt {n}},$

on aura

$\cos l\varpi =\cos rt{\sqrt {n}}.$

La fonction $(a')$ devient donc

$(a'')\qquad \qquad \qquad {\frac {(2i)^{n}}{i\pi }}\int dt\cos rt{\sqrt {n}}\left({\frac {\sin t}{t}}\right)^{n}.$

On a, en réduisant $\sin t$ en série,

${\begin{aligned}\log \left({\frac {\sin t}{t}}\right)^{n}=&n\log \left(1-{\frac {1}{1.2.3}}t^{2}+{\frac {1}{1.2.3.4.5}}t^{4}-\ldots \right)\\=&-{\frac {nt^{2}}{6}}-{\frac {n}{180}}t^{4}-\ldots ,\end{aligned}}$