ce qui donne
![{\displaystyle \left({\frac {\sin t}{t}}\right)^{n}=e^{-{\frac {nt^{2}}{6}}-{\frac {n}{180}}t^{4}-\ldots }=e^{-{\frac {nt^{2}}{6}}}\left(1-{\frac {n}{180}}t^{4}-\ldots \right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b27ef8ca1cdf6b432e6bd2cb5fe1522c60400615)
étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l’unité. La fonction
prend alors cette forme
![{\displaystyle (a''')\qquad \qquad {\frac {(2i)^{n}}{i\pi }}\int dt\cos rt{\sqrt {n}}e^{-{\frac {nt^{2}}{6}}}\left(1-{\frac {n}{180}}t^{4}-\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e66b58a14806443818ef4a8fdc770a0df2078a1)
Considérons les différents termes de cette fonction. On a d’abord, en réduisant en série
et faisant ![{\displaystyle t'=t{\sqrt {\frac {n}{6}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a0fd73c3b3a70085b9dd04fdf766869b6add825)
![{\displaystyle \int dt\cos rt{\sqrt {n}}e^{-{\frac {nt^{2}}{6}}}={\frac {6}{n}}\left(1-{\frac {r^{2}}{1.2}}6t'^{2}+{\frac {r^{4}}{1.2.3.4}}6^{2}t'^{4}-\ldots \right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca9477c5b209da0f9279402fed5bb633028be5ed)
L’intégrale doit être prise depuis
nul jusqu’à
infini, parce que
étant infini,
ou
devient infini à la limite
l’intégrale relative à
doit donc être prise depuis
nul jusqu’à
infini. Dans ce cas, on a, comme je l’ai fait voir dans les Mémoires cités de l’Académie des Sciences pour l’année 1778 [1],
![{\displaystyle \int dt'e^{-t'^{2}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4262c41a58032c77d9360db0a502ee54e4ca1524)
On a ensuite, en intégrant par parties,
![{\displaystyle \int t'^{2}dt'e^{-t'^{2}}=-{\frac {1}{2}}t'e^{-t'^{2}}+{\frac {1}{2}}\int dt'e^{-t'^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab77405135eb7ff90e68bdc4fec90440505afc40)
En prenant l’intégrale depuis
nul jusqu’à
infini, ce second membre se réduit à
Généralement on a, dans les mêmes limites.
![{\displaystyle \int t^{'2m}dt'e^{-t'^{2}}={\frac {1.3.5.(2m-1)}{2^{m}}}{\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e97c52c08242582f479d19283830291ae64d1eec)
On aura donc
![{\displaystyle \int dt\cos rt{\sqrt {n}}e^{-{\frac {nt^{2}}{6}}}={\sqrt {\frac {6}{n}}}{\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}\left(1-{\frac {3}{2}}r^{2}+{\frac {\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}r^{4}}{1.2}}-\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/046a8a7b6a85397c4235f0f0772b00a843bf496c)
![{\displaystyle ={\sqrt {\frac {6}{n}}}{\frac {1}{2}}{\sqrt {\pi }}e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18294ab2b8058dbabc91c8605f2e593462c25423)
- ↑ Œuvres de Laplace, T. IX, p. 447.