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en différenciant encore, on aura

${\frac {n}{1.2.3\ldots (n-2).2^{n}}}\left[\left(n+r{\sqrt {n}}\right)^{n-2}-n\left(n+r{\sqrt {n}}-2\right)^{n-2}+\ldots \right]$

$=-3r{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}.$

En continuant de différentier ainsi, on aura d’une manière très approchée les valeurs des différentielles successives du premier membre de l’équation $(b),$ pourvu que le nombre de ces différentiations soit très petit relativement au nombre $n.$ Toutes ces équations ont lieu, $r$ étant positif ou négatif ; et lorsque $r$ est nul, elles deviennent

${\begin{aligned}{\frac {\sqrt {n}}{1.2.3\ldots (n-1).2^{n}}}&\left[n^{n-1}-n(n-2)^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{1.2}}(n-4)^{n-1}-\ldots \right]\\&={\sqrt {\frac {3}{2\pi }}},\\{\frac {n}{1.2.3\ldots (n-2).2^{n}}}&\left[n^{n-2}-n(n-2)^{n-2}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \right]\\&=0,\\{\frac {n{\sqrt {n}}}{1.2.3\ldots (n-3).2^{n}}}&\left[n^{n-3}-n(n-2)^{n-3}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \right]\\&=-3{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}},\\{\frac {n^{2}}{1.2.3\ldots (n-4).2^{n}}}&\left[n^{n-4}-n(n-2)^{n-4}+\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \right]\\&=0,\\\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

Les seconds membres de ces équations sont zéro, lorsque l’exposant de la puissance est de la forme $n-2s,$ ce qu’il est facile de voir d’ailleurs, en observant que

$n^{n-2s}-n(n-2)^{n-2s}+\ldots$

est la moitié de la série $n^{n-2s}-n(n-2)^{n-2s}+\ldots ,$ sans l’exclusion des quantités négatives élevées à la puissance $n-2s,$ série qui, étant la différence finie $n$^ième d’une puissance moindre que $n,$ est nulle.

On peut, en intégrant successivement l’équation $(b),$ obtenir des théorèmes analogues sur les différences des puissances supérieures à $n\,;$ ainsi l’on a par une première intégration

$(b')\quad \left\{{\begin{aligned}&{\frac {1}{1.2.3\ldots (n+1){\sqrt {n}}.2^{n}}}\\&\quad \qquad \times \left[\left(n+r{\sqrt {n}}\right)^{n+1}-n\left(n+r{\sqrt {n}}-2\right)^{n+1}+\ldots -\mathrm {N} _{n}\right]\\&\quad \qquad ={\frac {1}{2}}r+{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\iint dr^{2}e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}},\end{aligned}}\right.$