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Donc

$\mathrm {N} _{n}=1.2.3\ldots (n+1)2^{n}{\sqrt {n}}{\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}},$

partant

${\frac {1}{1.2.3\ldots (n+1).2^{n}{\sqrt {n}}}}\left[\left(n+r{\sqrt {n}}\right)^{n+1}-n\left(n+r{\sqrt {n}}-2\right)^{n+1}+\ldots \right]$

$={\frac {1}{3}}{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}+{\frac {1}{2}}r+{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\iint dr^{2}e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}.$

En intégrant de nouveau, on a

${\begin{aligned}{\frac {1}{1.2.3\ldots (n+2).2^{n}n}}\left[\left(n+r{\sqrt {n}}\right)^{n+2}-n\left(n+r{\sqrt {n}}-2\right)^{n+2}+\ldots \right.\ \,&\\\left.-n^{n+2}+n(n-2)^{n+2}-\ldots \right]&\end{aligned}}$

$={\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}{\frac {r}{3}}+{\frac {1}{4}}r^{2}+{\sqrt {\frac {3}{2\pi }}}\iiint dr^{3}e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}},$

toutes les intégrales devant commencer avec $r.$ Mais on a

$n^{n+2}-n(n-2)^{n+2}+\ldots =1.2.3\ldots (n+2)2^{n-1}{\frac {n}{6}}.$

En effet, on a, comme on sait,

$\triangle ^{n}u=\left(e^{\alpha {\frac {du}{dx}}}-1\right)^{n}$

en appliquant à la caractéristique $d$ les exposants des puissances de ${\frac {du}{dx}},$ dans le développement du second membre de cette équation, et $\alpha$ étant la variation de $x.$ Si l’on fait $u=x^{n+2},$ on aura, sans exclusion des puissances des quantités négatives,

${\begin{aligned}&(x+2n)^{n+2}-n(x+2n-\alpha )^{n+2}+\ldots \\&\qquad =1.2.3\ldots (n+2)\alpha ^{n}\left({\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {\alpha nx}{2}}+{\frac {\alpha ^{2}n^{2}}{8}}+{\frac {\alpha ^{2}n}{3.8}}\right),\end{aligned}}$

ce qui donne sans cette exclusion, et faisant $x=-n$ et $\alpha =2,$

$n^{n+2}-n(n-2)^{n+2}+\ldots =1.2.3\ldots (n+2)2^{n}{\frac {n}{6}},$