ce qui, en intégrant depuis
nul jusqu’à
infini, devient, par l’analyse de l’article III,
![{\displaystyle {\frac {2}{(i+i'){\sqrt {\pi }}{\sqrt {\cfrac {k}{2k'n}}}e^{-{\frac {k}{2k'}}r^{2}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7075169a0e49a94914af2be48919f7cafb8d2f06)
Si l’on multiplie cette fonction par
en l’intégrant on aura la probabilité que la somme des erreurs sera comprise dans les limites
ou
or on a
![{\displaystyle dl=(i+i')dr{\sqrt {n}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94c12987a0303f0a1b234a4e8f08d2848514cb74)
cette probabilité sera donc
![{\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\frac {k}{2k'}}}\int e^{-{\frac {k}{2k'}}r^{2}}dr.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e58ccb44b40cb09784588717e059264c5392e6a7)
étant égal à
et
pouvant être substitué pour
les limites précédentes deviendront
![{\displaystyle nq'\pm hr{\sqrt {n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eefdd234ce584451b334cc638d134f42e030a970)
et celles de la moyenne des erreurs seront
![{\displaystyle q'\pm {\frac {rh}{\sqrt {n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c26e50351351a9827ced36d2bcedae14007c78bd)
Dans le cas que nous avons considéré dans l’article III,
est nul ;
l’expression précédente devient, en y faisant ![{\displaystyle r={\frac {1}{2}}r',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/523846d50e31b1ec5a56f87ab4036ad1d6fb625c)
et les limites de la moyenne des erreurs sont
ce qui est conforme à l’article cité.
En général,
est nul lorsque la courbe des facilités des erreurs est symétrique de chaque côté de l’ordonnée correspondante à l’erreur zéro. Si la loi des facilités est représentée par
on aura
![{\displaystyle k={\frac {\mathrm {A} }{6}}h^{2},\qquad 2k'={\frac {\mathrm {A} }{60}}h^{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fabeebaac47a87120beb8bd4f342e25e8e4efc1a)