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rant les coefficients des puissances descendantes de $n,$ on aura les équations suivantes

$0=3r\Psi '(r)+\Psi ''(r),$

$3r\Pi '(r)+\Pi ''(r)=-{\frac {1}{2}}r{\frac {d}{dr}}\left[3r\Psi '(r)+\Psi ''(r)\right]+3\left(\mathrm {{\overline {M}}+{\overline {N}}} \right),$

$\mathrm {\overline {M}}$ et $\mathrm {\overline {N}}$ étant ce que deviennent $\mathrm {M}$ et $\mathrm {N}$ lorsqu’on y change $\varphi (r,n-1)$ dans $\Psi (r).r$ En continuant ainsi on aura les équations nécessaires pour déterminer $\Gamma (r)$ et les fonctions suivantes.

La première équation donne, en l’intégrant,

$\Psi '(r)=\mathrm {A} e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}},$

$\mathrm {A}$ étant une constante arbitraire. Pour intégrer la seconde, on doit observer que les expressions précédentes de $\mathrm {M}$ et de $\mathrm {N}$ donnent

$\mathrm {\overline {M}} ={\frac {3\mathrm {A} r}{4}}\left(1-r^{2}\right)e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}},\qquad \mathrm {\overline {N}} =-{\frac {3\mathrm {A} r}{20}}\left(1-r^{2}\right)e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}.$

L’équation en $\Pi '(r)$ devient ainsi

$3r\Pi '(r)+\Pi ''(r)={\frac {36\mathrm {A} }{20}}\left(r-r^{3}\right)e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}\,;$

en la multipliant par $e^{{\frac {3}{2}}r^{2}}$ et intégrant, on aura

$\Pi '(r)=\mathrm {B} e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}}+{\frac {3\mathrm {A} }{20}}\left(6r^{2}-3r^{4}\right)e^{-{\frac {3}{2}}r^{2}},$

$\mathrm {B}$ étant une seconde arbitraire. On aura de la même manière $\Gamma '(r),\ldots ,$ et l’on obtiendra ainsi $\varphi (r,n-1).$

Pour déterminer les arbitraires $\mathrm {A,B} ,\ldots ,$ nous observerons que, si l’on intègre $\int dr\varphi '(r,n-1)$ depuis $r$ nul jusqu’à $r={\sqrt {n}},$ ce qui revient à le prendre jusqu’à $r$ infini, parce que l’on peut négliger les termes multipliés par l’exponentielle $e^{-{\frac {3}{2}}n},$ à cause de la grandeur supposée à $n,$ on aura pour cette intégrale une quantité que nous