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l’intégrale $\int dr\varphi (r,n),$ commençant avec $r,$ et observant que $dr'=dr={\frac {dr{\sqrt {n}}}{\sqrt {n-1}}},$

$\varphi _{1}(r',n-1)-\varphi _{1}(r'',n-1)={\frac {2}{\sqrt {n-1}}}\varphi (r,n).$

En substituant pour $r'$et $r''$ leurs valeurs précédentes et développant en série les fonctions $\varphi _{1}(r',n-1)$ et $\varphi _{1}(r'',n-1)$ on a une équation de cette forme

$(r')\qquad \left\{{\begin{aligned}&{\frac {2}{\sqrt {n-1}}}\left[\varphi (r,n)-\varphi (r,n-1)\right]\\&\quad ={\frac {1}{6n{\sqrt {n-1}}}}\left[3r\varphi '(r,n-1)+\varphi ''(r,n-1)\right]\\&\qquad +{\frac {N}{n^{2}{\sqrt {n-1}}}}+{\frac {N'}{n^{3}{\sqrt {n-1}}}}+\ldots ,\end{aligned}}\right.$

$\mathrm {N,N'} ,\ldots$ étant des fonctions de la même nature que $\mathrm {M,M'} ,\ldots$ et qu’il est facile de former de la même manière ; on trouve ainsi

${\begin{aligned}\mathrm {N} =&\quad \ {\frac {3r}{8}}\varphi '(r,n-1)+{\frac {4+3r^{2}}{24}}\varphi ''(r,n-1)\\&+{\frac {r}{12}}\varphi '''(r,n-1)+{\frac {1}{120}}\varphi ^{\text{ıv}}(r,n-1).\end{aligned}}$

Si l’on substitue dans l’équation $(r),$ au lieu de $\varphi (r,n)-\varphi (r,n-1),$ sa valeur donnée par l’équation $(r'),$ on aura

$(s)\qquad \left\{{\begin{aligned}&{\frac {1}{3n}}\left[3r\varphi '(r,n-1)+\varphi ''(r,n-1)\right]\\&\quad =-{\frac {r}{6n^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left[3r\varphi (r,n-1)+\varphi ''(r,n-1)\right]\\&\qquad +{\frac {\mathrm {M+N} }{n^{2}}}+{\frac {\mathrm {M'+N'} }{n^{3}}}+\ldots -{\frac {r}{n^{3}}}{\frac {d\mathrm {N} }{dr}}-{\frac {r}{n^{4}}}{\frac {d\mathrm {N} '}{dr'}}-\ldots .\end{aligned}}\right.$

Pour intégrer cette équation, supposons

$\varphi (r,n-1)=\Psi (r)+{\frac {\Pi (r)}{n}}+{\frac {\Gamma (r)}{n^{2}}}+\ldots \,;$

en substituant cette expression dans l’équation précédente, et compa-