IX.
On peut étendre les recherches précédentes aux différences des puissances fractionnaires. Pour cela, considérons la fonction
étant un nombre quelconque entier ou fractionnaire très petit relativement à et étant le nombre immédiatement supérieur à En désignant cette fonction par on aura d’abord, en suivant l’analyse précédente, l’équation On aura ensuite, au lieu de l’équation celle-ci
En combinant ces deux équations et réduisant en série, comme ci-dessus, on aura, en négligeant les puissances supérieures de
et, en changeant en
On satisfait à cette équation lorsque est un nombre entier en faisant
étant une constante arbitraire et la caractéristique différentielle devant être changée dans le signe intégral si est négatif, et alors on obtient les résultats précédents ; mais, si est fractionnaire, l’intégration de l’équation présente plus de difficultés. On peut l’obtenir alors par des intégrales définies.