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La formule $(\mu '')$ de la page 82 des Mémoires de l’Académie des Sciences ^[1] pour l’année 1782 donne, en n’ayant égard qu’à son premier terme,

$n^{n-{\frac {1}{2}}}-n(n-1)^{n-{\frac {1}{2}}}+\ldots ={\frac {1}{2^{n}}}1.3.5\ldots (2n-1){\sqrt {\frac {2}{n}}}\,;$

on a donc

${\frac {a+b}{2}}={\frac {1}{n^{\frac {1}{4}}{\sqrt {\pi }}}}.$

Si l’on fait ensuite dans $\varphi (r,n),$ $r=-{\sqrt {n}},$ cette fonction devient nulle ; on a par conséquent

$0=\int {\frac {dx}{\sqrt {x}}}e^{-{\frac {x^{2}}{6}}}\left(a\cos x{\sqrt {n}}-b\sin x{\sqrt {n}}\right)$

ou

$0=\int {\frac {dx'}{\sqrt {x'}}}\left(a\cos x'-b\sin x'\right),$

ce qui donne

$a=b.$

Donc

$a=b={\frac {1}{n^{\frac {1}{4}}{\sqrt {\pi }}}}$

et, par conséquent.

$\varphi (r,n)={\frac {1}{n^{\frac {1}{4}}{\sqrt {\pi }}}}\int {\frac {dx}{\sqrt {x}}}e^{-{\frac {x^{2}}{6}}}(\cos rx+\sin rx)$

ou

$\varphi (r,n)={\frac {1}{6n^{\frac {1}{4}}{\sqrt {\pi }}}}\int {\frac {dx\left(9+2x^{2}\right)}{x^{\frac {3}{2}}}}\sin rx.e^{-{\frac {x^{2}}{6}}}$^[2],

les intégrales étant prises depuis $x$ nul jusqu’à $x$ infini.

La même analyse nous conduit à déterminer généralement $\varphi (r,n),$ quel que soit le nombre $i.$ En le supposant moindre que l’unité, on

1. Œuvres de Laplace, T. X, p. 285.
2. Cette formule est fausse, puisque, pour $r=0,$ le second membre s’annule sans qu’il en soit de même du premier, La formule exacte est
   $\varphi (r,n)={\frac {1}{6n^{\frac {1}{4}}{\sqrt {\pi }}}}\int \sin rx.e^{-{\frac {x^{2}}{6}}}\left({\frac {2x^{2}+3}{r}}+6x\right){\frac {dx}{x^{\frac {3}{2}}}}.$
   (Note de l’Éditeur.)