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valeurs infinies ; on a donc

$\int {\frac {e^{-sx}\left(e^{-x}-1\right)^{n}dx}{x^{n-i+1}}}={\frac {(-1)^{i'+1}\triangle ^{n}s^{n-i}\int {\cfrac {e^{-x'}dx'}{x'^{\frac {1}{2f}}}}}{{\frac {1}{2f}}\left({\frac {1}{2f}}+1\right)\ldots (n-i)}},$

ce qui donne

$\triangle ^{n}s^{n-i}={\frac {1}{2f}}\left({\frac {1}{2f}}+1\right)\ldots (n-i)(-1)^{i'+1}{\frac {\int {\cfrac {e^{-sx}\left(e^{-x}-1\right)^{n}dx}{x^{n-i+1}}}}{\int {\cfrac {e^{-x'}dx'}{x^{'{\frac {1}{2f}}}}}}},$

équation qui est la même que la formule $(\mu ''')$ des Mémoires de l’Académie des Sciences, pour l’année 1782 ^[1], comme il est facile de s’en convaincre.

Supposons $i'=n-1$ et $f$ un nombre entier positif. Si l’on fait $s=-{\frac {n}{2}}-{\frac {r{\sqrt {n}}}{2}},$ l’intégrale $\int {\frac {e^{-sx}\left(e^{-x}-1\right)^{n}dx}{x^{n-i+1}}}$ deviendra

$\int {\frac {e^{{\frac {1}{2}}rx{\sqrt {n}}}dx}{x^{\frac {1}{2f}}}}\left({\frac {e^{-{\frac {x}{2}}}-e^{\frac {x}{2}}}{x}}\right).$

Faisons $x=2x'{\sqrt {-1}},$ et alors cette dernière intégrale se transforme dans la suivante

${\frac {(-1)^{n}2{\sqrt {-1}}}{\left(2{\sqrt {-1}}\right)^{\frac {1}{2f}}}}\int {\frac {1}{x'^{\frac {1}{2f}}}}\left(\cos rx'{\sqrt {n}}+{\sqrt {-1}}\sin rx'{\sqrt {n}}\right)\left({\frac {\sin x'}{x'}}\right)^{n}dx'\,;$

on a donc

$(x)\left\{{\begin{aligned}\triangle ^{n}s^{n-i}=&{\frac {1}{2f}}\left({\frac {1}{2f}}+1\right)\ldots (n-i){\frac {2{\sqrt {-1}}}{\left(2{\sqrt {-1}}\right)^{\frac {1}{2f}}}}\\&\times {\frac {\int {\cfrac {1}{x'^{\frac {1}{2f}}}}\left(\cos rx'{\sqrt {n}}+{\sqrt {-1}}\sin rx'{\sqrt {n}}\right)\left({\cfrac {\sin x'}{x'}}\right)^{n}dx'}{\int {\cfrac {e^{-x'}dx'}{x^{'{\frac {1}{2f}}}}}}},\end{aligned}}\right.$

les intégrales étant prises depuis $x'$ nul jusqu’à $x'=\pm \infty .$

1. Œuvres de Laplace, T. X, p. 287.