infini, on a
![{\displaystyle {\frac {(-1)^{i'}e^{-s\alpha }}{{\cfrac {1}{2f}}\left({\cfrac {1}{2f}}+1\right)\left({\cfrac {1}{2f}}+2\right)\ldots (n-i)\alpha ^{\frac {1}{2f}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be45a5916e0e3f969b37a19bff04644844ce6964)
![{\displaystyle \times \left[s^{i'}-{\frac {1}{2f}}{\frac {s^{i'-1}}{\alpha }}+{\frac {1}{2f}}\left({\frac {1}{2f}}+1\right){\frac {s^{i'-2}}{\alpha ^{2}}}+\ldots \right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad97501e240bc733e7370cd1f7b22e7987f12de8)
![{\displaystyle \left.+(-1)^{i'}{\frac {1}{2f}}\left({\frac {1}{2f}}+1\right)\ldots (n-i){\frac {1}{\alpha ^{i'}}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/367e495dbf8785f7844dc72701bd013680e76be0)
![{\displaystyle +{\frac {(-1)^{i'+1}s^{i'+1}\int {\cfrac {dxe^{-sx}}{x^{\frac {1}{2f}}}}}{{\cfrac {1}{2f}}\left({\cfrac {1}{2f}}+1\right)\ldots (n-i)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df1cd12657567edecc1bcde4f5dff51aa8abbb54)
On a généralement
![{\displaystyle \triangle ^{n}{\frac {e^{-s\alpha }}{\alpha ^{n-c}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cd4082a618b802d0e6dfae149f4899da3434148)
lorsqu’on suppose
infiniment petit ; car, si l’on développe
dans une série ordonnée par rapport aux puissances de
toutes les puissances de
inférieures à
deviennent nulles dans la fonction
et toutes les puissances égales à
ou supérieures sont nulles par la supposition de
infiniment petit. Il suit de là que
est égal à
![{\displaystyle {\frac {(-1)^{i'+1}\triangle ^{n}\left(s^{i'+1}\int {\cfrac {e^{-sx}dx}{x^{\frac {1}{2f}}}}\right)}{{\cfrac {1}{2f}}\left({\cfrac {1}{2f}}+1\right)\ldots (n-i)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b10c72637a3b9b21230780beb187c773db46373f)
l’intégrale étant prise depuis
nul jusqu’à
infini ; or on a
![{\displaystyle \triangle ^{n}\int {\frac {e^{-sx}dx}{x^{n-i+1}}}=\int {\frac {e^{-sx}\left(e^{-x}-1\right)^{n}dx}{x^{n-i+1}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e081dcdf50eb0e251b5d146029b09bcfb8fc6d31)
en faisant ensuite
on a
![{\displaystyle \int {\frac {e^{-sx}dx}{x^{\frac {1}{2f}}}}=s^{{\frac {1}{2f}}-1}\int {\frac {e^{-x'}dx'}{x'^{\frac {1}{2f}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52052a8b539680695983a7a60067aa78e75dbabd)
les deux intégrales étant prises depuis
et
nuls jusqu’à leurs