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En intégrant une fois par rapport à $r$ l’expression de

$\int _{0}^{\infty }dx\cos rxe^{-a^{2}x^{2}},$

on aura

$\int _{0}^{\infty }{\frac {dx\sin rx}{x}}e^{-a^{2}x^{2}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2a}}\int _{0}^{\infty }dre^{\frac {-r^{2}}{4a^{2}}}.$

III.

Considérons encore la double intégrale

$\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }2dxydye^{-y^{2}\left(1+x^{2}\right)}\cos rx.$

En l’intégrant d’abord par rapport à $y,$ elle devient

$\int _{0}^{\infty }{\frac {dx\cos rx}{1+x^{2}}}.$

Intégrons-la maintenant par rapport à $x\,;$ on a, par l’article précédent,

$\int _{0}^{\infty }dx\cos rxe^{-y^{2}x^{2}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2a}}e^{\frac {-r^{2}}{4y^{2}}},$

ce qui donne

$\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }2ydydx\cos rxe^{-y^{2}\left(1+x^{2}\right)}={\sqrt {\pi }}\int _{0}^{\infty }dye^{-y^{2}-{\frac {r^{2}}{4y^{2}}}}$

$={\sqrt {\pi }}e^{r}\int _{0}^{\infty }dye^{-\left({\frac {2y^{2}+r}{2y}}\right)^{2}}.$

$r$ étant supposé positif, la quantité $\left({\frac {2y^{2}+r}{2y}}\right)^{2}$ a un minimum qui répond à $y={\sqrt {\frac {r}{2}}},$ ce qui donne $2r$ pour ce minimum. Soit donc

$y={\frac {1}{2}}z+{\frac {1}{2}}{\sqrt {z^{2}+2r}}\,;$

$y$ devant s’étendre depuis $y=0$ jusqu’à $y=\infty ,$ $z$ doit s’étendre depuis $z=-\infty$ jusqu’à $z=\infty .$ Cette valeur de $y$ donne

$dy={\frac {1}{2}}dz+{\frac {1}{2}}{\frac {zdz}{\sqrt {z^{2}+2r}}}.$